Matrice diagonalizzabile
Ciao a tutti,
ho un esercizio da svolgere e mi sono fermato ad un punto in cui non so più continuare.
Vi posto l'esercizio e quello che ho fatto fino ad adesso
Considerata la matrice $((2,3,0,0),(-1,-2,0,0),(a,0,-1,-3),(0,b,2,4))$ dire par quali parametri a e b la matrice è diagonalizzabile.
Per prima cosa mi sono calcolato il polinomio caratteristico che è: $t^4-3t^3+t^2+3t-2=0$
che scomposto è: $(t-1)(t-2)(t^2-1)$ e quindi gli autovalori sono 1(con molteplicità due),2,-1.
Per confermare che la matrice sia diagonalizzabile, devo affermare che la molteplicità geometria e quella algebrica dell'autovalore 1 coincidano. Così vorrei vedere che dimensione ha l'autospazio dell'autovalore 1.
Mi viene un sistema così definito:
${(x+3y=0),(ax-2z-3w=0),(by+2z+3w=0):}$
qui ho notato che $b=-3a$ ma questo adesso a cosa mi serve?
Come faccio a vedere il sottospazio?
Grazie mille
ho un esercizio da svolgere e mi sono fermato ad un punto in cui non so più continuare.
Vi posto l'esercizio e quello che ho fatto fino ad adesso
Considerata la matrice $((2,3,0,0),(-1,-2,0,0),(a,0,-1,-3),(0,b,2,4))$ dire par quali parametri a e b la matrice è diagonalizzabile.
Per prima cosa mi sono calcolato il polinomio caratteristico che è: $t^4-3t^3+t^2+3t-2=0$
che scomposto è: $(t-1)(t-2)(t^2-1)$ e quindi gli autovalori sono 1(con molteplicità due),2,-1.
Per confermare che la matrice sia diagonalizzabile, devo affermare che la molteplicità geometria e quella algebrica dell'autovalore 1 coincidano. Così vorrei vedere che dimensione ha l'autospazio dell'autovalore 1.
Mi viene un sistema così definito:
${(x+3y=0),(ax-2z-3w=0),(by+2z+3w=0):}$
qui ho notato che $b=-3a$ ma questo adesso a cosa mi serve?
Come faccio a vedere il sottospazio?
Grazie mille
Risposte
Non ho controllato i conti iniziali.
Non capisco perchè tu dica che deve essere $b=-3a$.
A parte il fatto che non è giusto, nel senso che non è detto che lo sia, ciò che conta è si tratta di un sistema omogeneo, quindi ammette sempre soluzioni.
Devi solo valutare la dimensione dell'insieme delle soluzioni (ovvero la dimensione dell'autospazio corrispondente).
E per fare ciò puoi calcolare $4-rank(A)$ ove $A$ è la matrice dei coefficienti del sistema, al variare dei parametri $a,b$...
Vedi un po'. Se hai problemi, dimmelo.
Se proprio vuoi calcolare una base dell'autospazio (ma non è necessario), puoi risolvere effettivamente il sistema. Ma tieni conto che non è detto $b=-3a$.
Se $b=-3a$ le soluzioni sono in una certa forma, se $b!=-3a$ sono in un'altra. Sta a te scoprire come sono fatte...
Non capisco perchè tu dica che deve essere $b=-3a$.
A parte il fatto che non è giusto, nel senso che non è detto che lo sia, ciò che conta è si tratta di un sistema omogeneo, quindi ammette sempre soluzioni.
Devi solo valutare la dimensione dell'insieme delle soluzioni (ovvero la dimensione dell'autospazio corrispondente).
E per fare ciò puoi calcolare $4-rank(A)$ ove $A$ è la matrice dei coefficienti del sistema, al variare dei parametri $a,b$...
Vedi un po'. Se hai problemi, dimmelo.
Se proprio vuoi calcolare una base dell'autospazio (ma non è necessario), puoi risolvere effettivamente il sistema. Ma tieni conto che non è detto $b=-3a$.
Se $b=-3a$ le soluzioni sono in una certa forma, se $b!=-3a$ sono in un'altra. Sta a te scoprire come sono fatte...
Scusa ho sbagliato, in realtà è $b=3a$ ti spiego il mio ragionamento:
${(x+3y=0),(ax-2z-3w=0),(by+2z+3w=0):}$ -> ${(x=-3y),(ax-2z-3w=0),(by+2z+3w=0):}$ -> ${(x=-3y),(-3ay-2z-3w=0),(by+2z+3w=0):}$ -> ${(x=-3y),(3ay=-2z-3w),(by=-2z-3w):}$ e quindi $3ay=by$
non ho capito quando dici : "Devi solo valutare la dimensione dell'insieme delle soluzioni (ovvero la dimensione dell'autospazio corrispondente).
E per fare ciò puoi calcolare 4-rank(A) ove A è la matrice dei coefficienti del sistema, al variare dei parametri a,b... "
Cioè devo fare 4 - il rango della matrice dei coefficienti e vedere cosa?
mi sa che mi sono perso qualcosa
Comunque grazie mille per la risposta !
${(x+3y=0),(ax-2z-3w=0),(by+2z+3w=0):}$ -> ${(x=-3y),(ax-2z-3w=0),(by+2z+3w=0):}$ -> ${(x=-3y),(-3ay-2z-3w=0),(by+2z+3w=0):}$ -> ${(x=-3y),(3ay=-2z-3w),(by=-2z-3w):}$ e quindi $3ay=by$
non ho capito quando dici : "Devi solo valutare la dimensione dell'insieme delle soluzioni (ovvero la dimensione dell'autospazio corrispondente).
E per fare ciò puoi calcolare 4-rank(A) ove A è la matrice dei coefficienti del sistema, al variare dei parametri a,b... "
Cioè devo fare 4 - il rango della matrice dei coefficienti e vedere cosa?
mi sa che mi sono perso qualcosa
Comunque grazie mille per la risposta !
Dall'equazione $3ay=by$ deduci che (ti ricordo che stai risolvendo il sistema nelle incognite $x,y,z,t$, mentre $a,b$ sono parametri)
$(3a-b)y=0$
Allora hai uno dei seguenti casi:
1) Se $3a-b=0$, allora questa equazione è in realtà un'identità $0=0$ e quindi nella risoluzione del sistema può essere trascurata;
2) Se $3a-b!=0$, allora deve essere $y=0$, da cui puoi continuare a risolvere il sistema con questa informazione.
Per quanto riguarda l'altra questione a cui ti avevo accennato, ti spiego qualcosina:
Hai un autovalore $lambda_0$. La molteplicità geometrica di $lambda_0$ è la dimensione dell'autospazio corrispondente.
L'autospazio è l'insieme dei vettori $v$ tali che $Av=lambda_0v$, cioè
(*) $(A-lambda_0I)v=0$.
Quindi l'autospazio di cui vuoi calcolare la dimensione non è altro che l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo (*).
Ma la dimensione dell'insieme delle soluzioni di (*) è, dal teorema di Rouchè-Capelli, $n-rank(A-lambda_0I)$.
Quindi per calcolare la dimensione dell'autospazio è sufficiente trovare il rango di $A-lambda_0I$.
$(3a-b)y=0$
Allora hai uno dei seguenti casi:
1) Se $3a-b=0$, allora questa equazione è in realtà un'identità $0=0$ e quindi nella risoluzione del sistema può essere trascurata;
2) Se $3a-b!=0$, allora deve essere $y=0$, da cui puoi continuare a risolvere il sistema con questa informazione.
Per quanto riguarda l'altra questione a cui ti avevo accennato, ti spiego qualcosina:
Hai un autovalore $lambda_0$. La molteplicità geometrica di $lambda_0$ è la dimensione dell'autospazio corrispondente.
L'autospazio è l'insieme dei vettori $v$ tali che $Av=lambda_0v$, cioè
(*) $(A-lambda_0I)v=0$.
Quindi l'autospazio di cui vuoi calcolare la dimensione non è altro che l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo (*).
Ma la dimensione dell'insieme delle soluzioni di (*) è, dal teorema di Rouchè-Capelli, $n-rank(A-lambda_0I)$.
Quindi per calcolare la dimensione dell'autospazio è sufficiente trovare il rango di $A-lambda_0I$.
Se $3a=b$, il sistema (per calcolare l'autospazio relativo all'autovalore $1$) diventa
${(x+3y=0),(by+2z+3w=0):}$
Ora si deve calcolare la dimensione dell'insieme delle soluzioni di questo sistema e confrontare con la molteplicità algebrica di $1$.
Una base dell'insieme delle soluzioni è $(-3,1,-b/2,0),(0,0,-3/2,1)$.
Quindi la molteplicità geometrica dell'autospazio è 2 che coincide con la molteplicità algebrica.
E quindi si può dire che in questo caso la matrice è diagonalizzabile.
Se $3a!=b$, il sistema si riduce a
${(x=0),(y=0),(z=-3/2 w):}$
e pertanto l'insieme delle soluzioni ha dimensione 1. Per esempio una sua base è $(0,0,-3/2,1)$.
La molteplicità geometrica dell'autovalore $1$ è $1$ che non coincide con la molteplicità algebrica.
In questo caso la matrice non è diagonalizzabile.
Ricapitolando:
Se $3a=b$, la matrice è diagonalizzabile.
Se $3a!=b$, la matrice non lo è.
${(x+3y=0),(by+2z+3w=0):}$
Ora si deve calcolare la dimensione dell'insieme delle soluzioni di questo sistema e confrontare con la molteplicità algebrica di $1$.
Una base dell'insieme delle soluzioni è $(-3,1,-b/2,0),(0,0,-3/2,1)$.
Quindi la molteplicità geometrica dell'autospazio è 2 che coincide con la molteplicità algebrica.
E quindi si può dire che in questo caso la matrice è diagonalizzabile.
Se $3a!=b$, il sistema si riduce a
${(x=0),(y=0),(z=-3/2 w):}$
e pertanto l'insieme delle soluzioni ha dimensione 1. Per esempio una sua base è $(0,0,-3/2,1)$.
La molteplicità geometrica dell'autovalore $1$ è $1$ che non coincide con la molteplicità algebrica.
In questo caso la matrice non è diagonalizzabile.
Ricapitolando:
Se $3a=b$, la matrice è diagonalizzabile.
Se $3a!=b$, la matrice non lo è.
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