Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti
Sono un nuovo forumista ed ho un problema da risolvere urgentemente.
Qualcuno mi può aiutare?
Ecco il problema:
Si vuole istituire una nuova linea d'autobus in modo che le vetture, nei due sensi, si succedano ogni 5 minuti. Poiché la velocità media di ogni autobus è di 40 km orari e la distanza tra i due capolinea è di 15 km, quante vetture saranno necessarie?
Grazie anticipate a chi mi aiuterà e buon 1° maggio a tutti!

determinare l'equazione della retta cui appartiene l'altezza relativa ad AB nel triangolo ABC di vertici: $A(-1,0), B(2,1), C(1,3)$.
Io nn capisco cosa si intende per altezza relativa ad AB..è la retta perpendicolare ad AB passante per il punto medio?
Se fosse così, come si trova tale equazione?
Io ho trovato il punto medio del segmento AB come :
$Pm=[(x1+x2)/2, (y1+y2)/2]$
Ciò vuol dire che l'equazione della retta passerà per tale punto medio...
La m l'ho già trovata da me...Grazie

Siano $A$, $O$ matrici reali $n*n$, $O$ ortogonale.
E' vero che i minori prinicipali di $O^(-1)*A*O$ coincidono con i minori principali di $A$?
Certamente è vero per il determinante (= minore principale di ordine n), infatti:
$det(O^(-1)*A*O)=det(O^(-1))*det(A)*det(O)=1/det(O)*det(A)*det(O)=det(A)$
Ma per i minori di ordine $k=1,...,n-1$ non so come fare. Potete darmi una mano?

Ciao a tutti. Sto studiando Geometria e Algebra lineare per fare l'esame a giugno. Ho cercato sul web vari esercizi svolti cosicchè appena finisco di studiare mi dedico solo agli esercizi, però non ho trovato una cosa che mi interessa e ovvero, nel compito scritto , la mia prof., gli esercizi di determinare se si ha di fronte uno spazio vettoriale, sottospazi, basi, generatori, intersezione e somma, dimensione ec.c.. che è sempre racchiuso tutto in un unico esercizio, lo lascia sempre con ...

Salve, ho capito che se voglio imparare per bene questa parte devo cominciare dall'inzio e purtroppo devo scocciarvi. Abbiate solo un po' di pazienza con me. Grazie. Ora vi scrivo cosa sto imparando oggi e cosa non ho capito.
Spazio Vettoriale Definizione
Si dice spazio vettoriale (o più raramente chiamato spazio lineare) la struttura algebrica
$(V, K, +, *)$,
dove $V$ è un insieme i cui elementi si dicono vettori, $K$ viene detto corpo e può essere o ...

ho un po' di confusione su alcuni concetti fondamentali:
prendiamo come semplice esempio un tensore T con una componente covariante e una controvariante:
$T=T_{\nu}^{\mu} (\partial_{\mu}\otimes\dx^\nu)$
non ho capito come si chiamano i $\dx^\nu$
mentre i $\partial_{\mu}$ sono le derivate parziali e se agisco su una funzione ottengo il gradiente $\partial_{\mu}\f$ , per i $\dx^\nu$ non ho ben capito cosa si intende e come agiscono.
riuscite a spiegarmelo? magari con un ...

Salve a tutti io stavo studiando lo Spazio Duale e qualche problema forse solamente di notazione.
mi invento questo esempio per cercare di capire...
Sia uno Spazio Vettoriale $V$ e sia $V^*$ il suo duale (forme lineari da $V rarr K$ cioè $Hom(V,K)$ )
sia $<v_1,.... ,v_n>$ una base di V e sia $(f^*_1,.....,f^{*}_n)$ una base di $V^*$
So che $V$ e $V^*$ sono isomorfi cioè $V \sim V*$ per dimostrarlo penso ...

Dato il seguente sistema lineare:
${(x-y+2t=0),(2x+y+z-t=0),(x-z-t=0)}<br />
<br />
Le soluzioni sono $0,2t,-t,t$<br />
<br />
Riesco a risolverlo senza problemi per sostituzione, quando invece provo ad utilizzare il metodo di riduzione di Guass (per righe) mi vengono fuori dei numeri strani.<br />
<br />
Ecco tutti i passaggi:<br />
<br />
Imposto la matrice orlata $[[1,-1,0,2,0],[2,1,1,-1,0],[1,0,-1,-1,0]]$, effettuo le seguenti operazioni elementari: $M^2-2M^1->M^2$, $M^3-M^1->M^3$,<br />
ottengo la matrice:<br />
<br />
$[[1,-1,0,2,0],[0,3,1,-5,0],[0,1,-2,0,0]]$ ed effettuo l'operazione elementare: $M^3-1/3M^2->M^3$<br />
<br />
Ottengo così la matrice ridotta:<br />
<br />
$[[1,-1,0,2,0],[0,3,1,-5,0],[0,0,-7/3,-5/3,0]]$ e per il teorema di rouchè-capelli ora so che il sistema ha effettivamente soluzioni.
Ripercorrendo verso l'alto la matrice dovrei ottenere le soluzioni del ...

Salve, ho delle domande, molto elementari da fare. Quando si parla di $RR^2$ o di $RR^N$ si intende numeri reali in due o in N dimensioni, ma di preciso a cosa si fa riferimento? Forse quì sarebbe necessario qualche esempio per poter capire.
Inoltre $RR^2$ e $RR^N$ sono degli spazi vettoriali?
Grazie.
ps: E cos'è un corpo?
So dovrei sapere queste cose ma i libri di algebra che uso me le danno già per scontante.

L'esercizio è questo:
Si determini un'equazione della proeittività $omega:F(A)->F(B)$, con $A(1,0),B(2,1)$ tale che $omega(r)=r'$, $omega(s)=s'$, $omega(t)=t'$, ove $r:$$x=1$ ed $r':$$x+y-3=0$, $s:y=1$ ed $s':$$x=2$, $t:$$x-y-1=0$ $t':y=1$
Dire se è una prospettività.
Determinata l'equazione della proiettività $omega: mm'+m-1=0$, dove $m$ è il ...

Ciao a tutti! Ho un dubbio. Ho due sottospazi, le cui basi sono:
$ B(W1)=(( 1 , 2 ),( 0 , 0 )) ,(( 0 , 1 ),( 1 , 1 )) $
$ B(W2)=(( 1 , 2 ),( 0 , 0 )) ,(( 0 , 1 ),( 1 , 1 )) $
Devo trovare una base e la dimensione di $ W1+W2 $ . Gli elementi delle due basi sono linearmente indipendenti ma non so come comportarmi con la matrice che hanno in comune! Si considera una sola volta o no? Mi spiego, la base è:
$ B(W1+W2)=(( 1 , 2 ),( 0 , 0 )) ,(( 0 , 1 ),( 1 , 1 )),(( 1 , 2 ),( 0 , 0 )) ,(( 0 , 1 ),( 1 , 1 )) $
oppure:
$ B(W1+W2)=(( 1 , 2 ),( 0 , 0 )) ,(( 0 , 1 ),( 1 , 1 )),(( 1 , 2 ),( 0 , 0 )) $

Si determini una base del sottospazio $W$ di $RR^3$ definito da:
$W={A in RR^(3x3): A*( ( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 2 , 2 ),( 1 , 2 , 1 ) )=0}$
allora io mi sono scritto i vari sistemi che vengono (siccome la forma delle righe di A è uguale e "cambiano" solo i numeri, riporto solo due equazioni):
$a+b+c=0$ & $a+2b+c=0$ da cui mi sono ricavato parametricamente $c, a=-c, b=0$
quindi la matrice $A$ sarà della forma:
$A=( ( -a , 0 , a ),( -b , 0 , b ),( -c , 0 , c ) )$
Da qui mi ricavo la base che risulta essere: ...

Mi trovo proprio spaesato con questo problema:
Si dica se esiste un endomorfismo L di $RR^4$ tale che $L(0,0,0,1)=(1,2,-1,1)$ e $L(1,0,-1,0)=(1,-1,0,0)+<(1,1,0,0),(0,0,1,1)>$
sono convinto che mi sfugge qualche stupida quanto utile regola per risolverlo.
Se qualcuno potesse indicarmi un metodo da usare con esercizi di questo tipo gliene sarei grato.
Grazie in anticipo

Nello spazio vettoriale delle funzioni continue su $RR$, si consideri il sottospazio vettoriale $W=<f_1,f_2,f_3>$ dove $f_1=e^(2x)+cosx$, $f_2 =cosx+senx$, e $f_3=senx$
a) si verifichi che $(f_1,f_2,f_3)$ è una base di W
b)considerato l'endomorfismo D di W che ad ogni funzione associa la sua derivata prima, si determini la matrice di D rispetto alla base $(f_1,f_2,f_3)$
Nel punto a) applico la definizione e sono a posto; ma nel punto b), quando vado a calcolarmi le ...
Ciao ragazzi..sto incontrando alcune difficoltà nella riduzione per righe o colonne delle matrici
non riesco a capire secondo quale criterio si inizia la riduzione..cioè si parte da una riga a piacere?:| nel libro c'è messa una specie di spiegazione ma non è molto chiara, o meglio dice di partire dal primo termine non nullo e cercare di annullarlo con le altre righe/colonne
se potreste spiegarmi un procedimento valido magari con un esempio ve ne sarei grato
grazie mille anticipatamente a ...

Salve a tutti,
sto studiando gli spazi affini, ed oggi il mio prof. se ne uscito con "consideriamo il piano ordinario"... ma cos'è?
E cos'è lo spazio ordinario?
Cercando su internet ho trovato questa frase (al link: http://progettomatematica.dm.unibo.it/G ... 0/pag0.htm):
"Ma cosa sono piano e spazio ordinari?
Possiamo brevemente dire che essi sono i soggetti trattati dalla geometria piana e solida seguendo l'impostazione classica di Euclide formalizzata dagli assiomi di Hilbert"
ma non è che mi sia chiarito molto le ...

Questa domanda mi ha fatto pensare...
Propongo dunque un piccolo problemino, per chi non sapesse come impiegare meglio il proprio tempo....
Posto [tex]d_{\exp}(x,y) = |e^x-e^y|[/tex], mostrare che [tex](\mathbb{R},d_{\exp})[/tex] non è completo.
A me, poi, sembra che induca la stessa topologia standard. Potrei sbagliarmi, dato che non ho fatto tutti i conti per benino... di sicuro la topologia standard è più fine della topologia indotta da questa metrica.
Se ...

Si risolva il sistema $(a,b)*( ( 3 , 3 , 3 ),( 6 , 6 , 6 ) )=(0 , 0 , 0)$
senza risolvere ulteriori sistemi di equazioni, si determinino tutte le matrici $A in RR^(2x2)$ tali che
$A*( ( 3 , 3 , 3 ),( 6 , 6 , 6 ) )=( ( 6 , 6 , 6 ),(9 , 9 , 9 ) )$
presumo che l'esercizio mi chieda la risoluzione parametrica; quindi, dal sistema omogeneo ho ricavato la soluzione $(-2a,a)$.
nel secondo sistema ho ricavato invece $A=( ( 2-2*a , a ),( 3-2*b , b ) )$
escludendo i vari calcoli, è così che si svolge l'esercizio?

Siano A,B,C,D i vertici di un quadrato.Il luogo dei punti dello spazio equidistanti da A,B,C,D è:
a)l'unione di due piani
b)l'unione di quattro sfere
c)una retta
b)due rette
e)quattro punti
Secondo voi quale potrebbe essere?Io ho optato per una retta perche lungo la retta che passa per il centro del quadrato giacciono tutti i punti equidistanti ai 4 vertici....

L'esercizio dice quanto segue:
In $RR^4$ si considerino i due sottospazi vettoriali: $U=<(2,-1,0,1),(1,-1,1,1)> e W=<(1,0,-1,1),(2,-2,2,1)>$ si dica se esiste un endomorfismo di $RR^4$ che ha U come nucleo e W come immagine.
Ne esiste uno solo? In caso constrario se ne determinino due distinti precisando, per ognuno, i corrispondenti vettori della base canonica.
Ecco il mio svolgimento:
mettendo in forma di matrice i sottospazi U e W e riducendo a scala, risultano 3 vettori linearmente indipendenti ...