Proiettività
L'esercizio è questo:
Si determini un'equazione della proeittività $omega:F(A)->F(B)$, con $A(1,0),B(2,1)$ tale che $omega(r)=r'$, $omega(s)=s'$, $omega(t)=t'$, ove $r:$$x=1$ ed $r':$$x+y-3=0$, $s:y=1$ ed $s':$$x=2$, $t:$$x-y-1=0$ $t':y=1$
Dire se è una prospettività.
Determinata l'equazione della proiettività $omega: mm'+m-1=0$, dove $m$ è il coefficiente angolare delle rette, scelto come coordinata proiettiva non omogenea.
A questo punto per vedere se è una prospettività considero la retta $[AB]=t$ e poichè $omega(t)=t' ne t$ allora posso dire che non è una prospettività. E credo che sia questo l'approccio da seguire.
Tuttavia ho voluto provare a risolverlo anche come trovato in un altro esercizio:
Ho considerato $P=rnnr'$, $Q=snns'$ e $H=tnnt'$ allora chiamata $[PQ]$ l'asse della prospettività, ho che $omega$ è prospettività se e solo se $Hin[PQ]$. Inutile dire così facendo $H$ vi appartiene all'asse.
Quindi dove sta l'errore (che immagino sia piuttosto grosso)?
Grazie a tutti.
PS: Una curiosità sempre sulle proiettività: se io ho una proiettività $omega$ tale che $omega(A)=A'$, $omega(B)=B'$, con $A,A',B',B$ punti arbitrari, è possibile scegliere come coordinata proeittiva non omogenea le ascisse circa i primi e le ordinate per i secondi per esempio?
A patto ovviamente di un sistema coordinato adeguato si intende.
Si determini un'equazione della proeittività $omega:F(A)->F(B)$, con $A(1,0),B(2,1)$ tale che $omega(r)=r'$, $omega(s)=s'$, $omega(t)=t'$, ove $r:$$x=1$ ed $r':$$x+y-3=0$, $s:y=1$ ed $s':$$x=2$, $t:$$x-y-1=0$ $t':y=1$
Dire se è una prospettività.
Determinata l'equazione della proiettività $omega: mm'+m-1=0$, dove $m$ è il coefficiente angolare delle rette, scelto come coordinata proiettiva non omogenea.
A questo punto per vedere se è una prospettività considero la retta $[AB]=t$ e poichè $omega(t)=t' ne t$ allora posso dire che non è una prospettività. E credo che sia questo l'approccio da seguire.
Tuttavia ho voluto provare a risolverlo anche come trovato in un altro esercizio:
Ho considerato $P=rnnr'$, $Q=snns'$ e $H=tnnt'$ allora chiamata $[PQ]$ l'asse della prospettività, ho che $omega$ è prospettività se e solo se $Hin[PQ]$. Inutile dire così facendo $H$ vi appartiene all'asse.
Quindi dove sta l'errore (che immagino sia piuttosto grosso)?
Grazie a tutti.
PS: Una curiosità sempre sulle proiettività: se io ho una proiettività $omega$ tale che $omega(A)=A'$, $omega(B)=B'$, con $A,A',B',B$ punti arbitrari, è possibile scegliere come coordinata proeittiva non omogenea le ascisse circa i primi e le ordinate per i secondi per esempio?
A patto ovviamente di un sistema coordinato adeguato si intende.
Risposte
Secondo me l'errore non è nel procedimento ma nella traccia .La retta s ha equazione y=1 e non passa per A.
Se fosse y= 0 ( per esempio) tutto tornerebbe.Vedi un po' tu.
Se fosse y= 0 ( per esempio) tutto tornerebbe.Vedi un po' tu.
Ti ringrazio effettivamente hai ragione... ho controllato sulla traccia nuovamente e confermo è scritto $y=1$, sarà sicuramente un errore.
Ho un altro problema circa le prospettività.
L'esercizio è questo:
Siano $r: x-y=0$ ed $s: x+y=0$. Stabilire se l'applicazione $omega:r \to s$ che associa ad ogni $P inr$ il suo simmetrico rispetto all'asse $y$ è una prospettività e se ne determini eventualmente il centro.
Considero 3 punti sulla retta $r$ ed impongo che $omega$ li trasformi nei reciproci. Scelgo $0,A(1,1),B(2,2)$.
Ottengo così $omega: x+x'=0$
Ora so che dato $omega$ è prospettività se esiste un punto $P_0$ non appartenente alle 2 rette t.c. per ogni $X inr$, $X,omega(X),P_0$ sono allineati.
Visualizzando la situazione del mio problema, mi viene da escludere questa situazione, in quanto il simmetrico rispetto all'asse $y$ di un qualsiasi punto $X$ è esattamente dato dall'intersezione della retta perpendicolare ad $y$, per $X$ con la retta $s$.
Però per la caratterizzazione delle prospettività si ha:
$omega$ prospettività $hArr omega(Q)=Q$ ove $Q=rnns$, ed in effetti $omega(O)=O$...
Come è possibile tutto ciò?
Tra l'altro, se provo a calcolare il centro, ovvero come punto di intersezione di $[A A']nn[BB']$ ottengo ovviamente intersezione vuota (essendo le rette parallele)
L'esercizio è questo:
Siano $r: x-y=0$ ed $s: x+y=0$. Stabilire se l'applicazione $omega:r \to s$ che associa ad ogni $P inr$ il suo simmetrico rispetto all'asse $y$ è una prospettività e se ne determini eventualmente il centro.
Considero 3 punti sulla retta $r$ ed impongo che $omega$ li trasformi nei reciproci. Scelgo $0,A(1,1),B(2,2)$.
Ottengo così $omega: x+x'=0$
Ora so che dato $omega$ è prospettività se esiste un punto $P_0$ non appartenente alle 2 rette t.c. per ogni $X inr$, $X,omega(X),P_0$ sono allineati.
Visualizzando la situazione del mio problema, mi viene da escludere questa situazione, in quanto il simmetrico rispetto all'asse $y$ di un qualsiasi punto $X$ è esattamente dato dall'intersezione della retta perpendicolare ad $y$, per $X$ con la retta $s$.
Però per la caratterizzazione delle prospettività si ha:
$omega$ prospettività $hArr omega(Q)=Q$ ove $Q=rnns$, ed in effetti $omega(O)=O$...
Come è possibile tutto ciò?
Tra l'altro, se provo a calcolare il centro, ovvero come punto di intersezione di $[A A']nn[BB']$ ottengo ovviamente intersezione vuota (essendo le rette parallele)
nessuno mi svela l'arcano? 
Guarda che è tutto a posto. L'unica differenza sta nel fatto che il polo della prospettività è improprio ed è il punto all'infinito dell'asse x. E' con questo punto che sono allineate tutte le coppie di punti corrispondenti nella prospettività !
P.S. In geometria proiettiva valgono anche i punti impropri e quindi l'intersezione di due punteggiate,aventi per sostegno due rette complanari,non è mai vuota...
P.S. In geometria proiettiva valgono anche i punti impropri e quindi l'intersezione di due punteggiate,aventi per sostegno due rette complanari,non è mai vuota...
Grazie zio mauri. Non avevo pensato effettivamente al punto...
Avrei un altro dubbio sullo svolgimento di questo esercizio:
Sia $gammasubE_2$ la circonferenza di centro $O$ e raggio $1$ ed $r: y=x$. Considerata $omega: gamma \to r$ la proiettività tale che $omega(0,-1)=(1,1,)$, $omega(0,1)=(2,2)$ e $omega(1,0)=(-1,-1)$ si determinino $omega (-1,0)$ e $omega^(-1)(R_infty)$ ove $R_infty$ è la direzione di $r$.
Poichè $omega$ deve essere bigettiva per definizione, come coordinata proiettiva non omogenea scelgo il coefficiente angolare della retta per $A(-1,0)$ che congiunge i vari punti.
Se non ho sbagliato i calcoli l'equazione della mia proiettività è $omega: -12mm'+7m+1=0$.
Per determinare allora $omega(-1,0)$, il cui coefficiente angolare è $infty$ sostituisco nella mia equazione ed ottengo $m'=7/12$, da cui la retta $y=7/12x+7/12$. Intersecando con la retta $y=x$ ottengo il punto $(7/5,7/5)$.
Ora il problema sorge con $R_infty(1,1,0)$.
Mi verrebbe da dire a primo acchitto: la retta che congiunge $A$ con $R_infty$ è proprio $r$ il cui coefficiente angolare $m'=1$ pertanto ottengo $m=-1/5$. costruisco la retta per $A$ con quel coefficiente angolare ed intersecandola con la circonferenza ottengo il punto richiesto...
Però non sono assolutamente sicuro di ciò che ho scritto.
Qualcuno conferma o smentisce?
Grazie mille!
Sia $gammasubE_2$ la circonferenza di centro $O$ e raggio $1$ ed $r: y=x$. Considerata $omega: gamma \to r$ la proiettività tale che $omega(0,-1)=(1,1,)$, $omega(0,1)=(2,2)$ e $omega(1,0)=(-1,-1)$ si determinino $omega (-1,0)$ e $omega^(-1)(R_infty)$ ove $R_infty$ è la direzione di $r$.
Poichè $omega$ deve essere bigettiva per definizione, come coordinata proiettiva non omogenea scelgo il coefficiente angolare della retta per $A(-1,0)$ che congiunge i vari punti.
Se non ho sbagliato i calcoli l'equazione della mia proiettività è $omega: -12mm'+7m+1=0$.
Per determinare allora $omega(-1,0)$, il cui coefficiente angolare è $infty$ sostituisco nella mia equazione ed ottengo $m'=7/12$, da cui la retta $y=7/12x+7/12$. Intersecando con la retta $y=x$ ottengo il punto $(7/5,7/5)$.
Ora il problema sorge con $R_infty(1,1,0)$.
Mi verrebbe da dire a primo acchitto: la retta che congiunge $A$ con $R_infty$ è proprio $r$ il cui coefficiente angolare $m'=1$ pertanto ottengo $m=-1/5$. costruisco la retta per $A$ con quel coefficiente angolare ed intersecandola con la circonferenza ottengo il punto richiesto...
Però non sono assolutamente sicuro di ciò che ho scritto.
Qualcuno conferma o smentisce?
Grazie mille!
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