Ricerca di un endomorfismo
Mi trovo proprio spaesato con questo problema:
Si dica se esiste un endomorfismo L di $RR^4$ tale che $L(0,0,0,1)=(1,2,-1,1)$ e $L(1,0,-1,0)=(1,-1,0,0)+<(1,1,0,0),(0,0,1,1)>$
sono convinto che mi sfugge qualche stupida quanto utile regola per risolverlo.
Se qualcuno potesse indicarmi un metodo da usare con esercizi di questo tipo gliene sarei grato.
Grazie in anticipo
Si dica se esiste un endomorfismo L di $RR^4$ tale che $L(0,0,0,1)=(1,2,-1,1)$ e $L(1,0,-1,0)=(1,-1,0,0)+<(1,1,0,0),(0,0,1,1)>$
sono convinto che mi sfugge qualche stupida quanto utile regola per risolverlo. Se qualcuno potesse indicarmi un metodo da usare con esercizi di questo tipo gliene sarei grato.
Grazie in anticipo
Risposte
Non ho capito cosa hai scritto...
che vuol dire $+ <(1,1,0,0),(0,0,1,1)>$... sono da considerarli come immagini o cos'altro?
Comunque tieni presente che in generale assegnare un endomorfismo equivale ad essegnare l'immagine ai singoli vettori di base.
Quinid se in $RR^4$ hai una qualsiasi base cui è assegnata un'immagine allora l'endomorfismo esiste ed è univocamente determinato.
che vuol dire $+ <(1,1,0,0),(0,0,1,1)>$... sono da considerarli come immagini o cos'altro?
Comunque tieni presente che in generale assegnare un endomorfismo equivale ad essegnare l'immagine ai singoli vettori di base.
Quinid se in $RR^4$ hai una qualsiasi base cui è assegnata un'immagine allora l'endomorfismo esiste ed è univocamente determinato.
"Legico":
$L(1,0,-1,0)=(1,-1,0,0)+<(1,1,0,0),(0,0,1,1)>$
scusa ho sbagliato a ricopiare il testo, la forma corretta è $L^(-1)(1,0,-1,0)=(1,-1,0,0)+<(1,1,0,0),(0,0,1,1)>$
Comunque per quanto mi riguarda non è molto chiaro l'esercizio, quindi non so rispondere alla tua domanda
Avanzo un'interpretazione:
determinare l'endomorfismo [tex]L[/tex] tale che [tex]L(0,0,0,1) = (1,2,-1,1)[/tex] e [tex]L(1,-1,0,0) = L(1,1,0,0) = L(0,0,1,1) = (1,0,-1,0)[/tex]. La forma, infatti, farebbe pensare alla richiesta che [tex]L^{-1}(1,0,-1,0)[/tex] coincida con la somma dei sottospazi [tex]\langle (1,-1,0,0)\rangle[/tex] e [tex]\langle (1,1,0,0), (0,0,1,1)\rangle[/tex], anche se non capisco perché non scrivere direttamente [tex]L^{-1}(1,0,-1,0)=\langle (1,-,1,0,0), (1,1,0,0), (0,0,1,1) \rangle[/tex].
Nel caso della mia interpretazione, ti basta seguire l'indicazione di mistake89 per concludere con facilità (e poi puoi sempre usare il trucco che ti ho mostrato per riscrivere la matrice rispetto alla base canonica
)
determinare l'endomorfismo [tex]L[/tex] tale che [tex]L(0,0,0,1) = (1,2,-1,1)[/tex] e [tex]L(1,-1,0,0) = L(1,1,0,0) = L(0,0,1,1) = (1,0,-1,0)[/tex]. La forma, infatti, farebbe pensare alla richiesta che [tex]L^{-1}(1,0,-1,0)[/tex] coincida con la somma dei sottospazi [tex]\langle (1,-1,0,0)\rangle[/tex] e [tex]\langle (1,1,0,0), (0,0,1,1)\rangle[/tex], anche se non capisco perché non scrivere direttamente [tex]L^{-1}(1,0,-1,0)=\langle (1,-,1,0,0), (1,1,0,0), (0,0,1,1) \rangle[/tex].
Nel caso della mia interpretazione, ti basta seguire l'indicazione di mistake89 per concludere con facilità (e poi puoi sempre usare il trucco che ti ho mostrato per riscrivere la matrice rispetto alla base canonica
)
mi dispiace ma stavolta non vi seguo... 
Non riesco proprio a capire cosa chiede il testo, che intende con "dire se esiste un endomorfismo"??
Non riesco proprio a capire cosa chiede il testo, che intende con "dire se esiste un endomorfismo"??
Sempre che la mia interpretazione del testo sia valida, la frase "dire se esiste un endomorfismo" va interpretata alla luce del teorema che citavo l'altra volta e che ha riproposto mistake89. Quindi, tradotta significa: "controllare se le ipotesi del teorema sono valide", ossia "controllare che i vettori di cui ti sto dando le immagini formano una base di [tex]\mathbb{R}^4[/tex]". Quest'ultima cosa è semplice, basta calcolare il rango della matrice delle componenti dei vettori incriminati e controllare che sia massimo (o se preferisci controllare che il suo determinante sia non nullo).
Ok, fin qui ci siamo....
Ma nel mio caso, risulta che il codominio è $C=<(1,2,-1,1),(1,0,-1,0)>$, mentre il dominio è $D=<(0,0,0,1),(1,-1,0,0),(1,1,0,0),(0,0,1,1)>$
I vettori del dominio sono linearmente indipendenti, quindi formano una base di $RR^4$, ma anche C è una base di $RR^4$ nonostante sia "incompleta", mi basta che il dominio sia una base dello spazio vettoriale per dire che esiste l'endomorfismo?
Ma nel mio caso, risulta che il codominio è $C=<(1,2,-1,1),(1,0,-1,0)>$, mentre il dominio è $D=<(0,0,0,1),(1,-1,0,0),(1,1,0,0),(0,0,1,1)>$
I vettori del dominio sono linearmente indipendenti, quindi formano una base di $RR^4$, ma anche C è una base di $RR^4$ nonostante sia "incompleta", mi basta che il dominio sia una base dello spazio vettoriale per dire che esiste l'endomorfismo?
Per farla breve, la risposta alla tua domanda è sì.
Per allungarla un po' e farti capire bene (spero), riprendiamo il post dell'altra volta, dove ho postato quel famoso teorema. Se vai a rileggere le ipotesi, ti accorgerai che (usando le stesse notazioni che ho usato là) sui vettori [tex]\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\ldots,\mathbf{f}_n[/tex] non è stata fatta alcuna ipotesi. Quindi possono essere linearmente dipendenti e anche (perché no?) coincidenti. Per inciso (non so che corso di laurea fai, quindi non posso dire se questa osservazione ti sarà mai utile) non è stata nemmeno fatta l'ipotesi di dimensione finita su [tex]V'[/tex] (e quindi può essere tranquillamente uno spazio "esotico" in dimensione infinita).
Anyway, nel nostro caso [tex]\mathbf{f}_1 = (1,2,-1,1)[/tex] e [tex]\mathbf{f}_2 = \mathbf{f}_3 = \mathbf{f}_4 = (1,0,-1,0)[/tex].
Ti è più chiaro, adesso?
Per allungarla un po' e farti capire bene (spero), riprendiamo il post dell'altra volta, dove ho postato quel famoso teorema. Se vai a rileggere le ipotesi, ti accorgerai che (usando le stesse notazioni che ho usato là) sui vettori [tex]\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\ldots,\mathbf{f}_n[/tex] non è stata fatta alcuna ipotesi. Quindi possono essere linearmente dipendenti e anche (perché no?) coincidenti. Per inciso (non so che corso di laurea fai, quindi non posso dire se questa osservazione ti sarà mai utile) non è stata nemmeno fatta l'ipotesi di dimensione finita su [tex]V'[/tex] (e quindi può essere tranquillamente uno spazio "esotico" in dimensione infinita).
Anyway, nel nostro caso [tex]\mathbf{f}_1 = (1,2,-1,1)[/tex] e [tex]\mathbf{f}_2 = \mathbf{f}_3 = \mathbf{f}_4 = (1,0,-1,0)[/tex].
Ti è più chiaro, adesso?
Si, la tua spiegazione non fa una piega, ed è sempre molto utile... solo che, alla luce dei chiarimenti che ho avuto, mi sembra un'esercizio un po' stupido: cioè basta che esistano delle basi, anche incomplete, del dominio e del codominio perchè esista un'applicazione lineare che le mette in relazione...
Troppo bello per essere vero
Troppo bello per essere vero
"Legico":
[...] cioè basta che esistano delle basi, anche incomplete, del dominio e del codominio perchè esista un'applicazione lineare che le mette in relazione...
Veramente del dominio devi avercela proprio tutta una base (oppure l'esercizio ti deve lasciare libero di completarla come preferisci e ti deve dare indicazioni sulle immagini dei nuovi vettori, ad esempio specificandoti l'immagine dell'endomorfismo).
"Legico":
Troppo bello per essere vero!
Sono contento che inizi ad entrare nell'ottica dell'Algebra Lineare... In realtà tutti gli esercizi di Geometria 1 da esame sono stupidi, una volta che li hai opportunamente visualizzati nella tua testa ed inquadrati nei giusti teoremi...
Secondo me, la consegna dell'esercizio è un'altra.
Data un'applicazione lineare $L:V\to W$ fra spazi vettoriali e dato un vettore $w_0\in W$, è ben noto che
$L^{-1}(w_0)={v\in V: L(v)=w_0}$
non è un sottospazio vettoriale di $V$ (tranne nel caso $w_0=0_{W}$).
Però è anche facile provare che, se $v_0$ è un arbitrario elemento di $V$ tale che $L(v_0)=w_0$, si ha che
(*) $L^{-1}(w_0)=v_0+"ker"L$
dove con la notazione (*) voglio dire che i vettori di $L^{-1}(w_0)$ sono tutti e soli i vettori di $V$ nella forma $v_0+v$ con $v\in"ker"L$.
Ora, secondo me, l'esercizio usa proprio una notazione tipo (*).
Vuole un'applicazione lineare $L$ tale che
$L(0,0,0,1)=(1,2,-1,1)$,
$L(1,-1,0,0)=(1,0,-1,0)$,
$L(1,1,0,0)=L(0,0,1,1)=0_{RR^4}$.
Che ne dite?
"Legico":
Si dica se esiste un endomorfismo L di $RR^4$ tale che
$L(0,0,0,1)=(1,2,-1,1)$ e
$L^(-1)(1,0,-1,0)=(1,-1,0,0)+<(1,1,0,0),(0,0,1,1)>$
Data un'applicazione lineare $L:V\to W$ fra spazi vettoriali e dato un vettore $w_0\in W$, è ben noto che
$L^{-1}(w_0)={v\in V: L(v)=w_0}$
non è un sottospazio vettoriale di $V$ (tranne nel caso $w_0=0_{W}$).
Però è anche facile provare che, se $v_0$ è un arbitrario elemento di $V$ tale che $L(v_0)=w_0$, si ha che
(*) $L^{-1}(w_0)=v_0+"ker"L$
dove con la notazione (*) voglio dire che i vettori di $L^{-1}(w_0)$ sono tutti e soli i vettori di $V$ nella forma $v_0+v$ con $v\in"ker"L$.
Ora, secondo me, l'esercizio usa proprio una notazione tipo (*).
Vuole un'applicazione lineare $L$ tale che
$L(0,0,0,1)=(1,2,-1,1)$,
$L(1,-1,0,0)=(1,0,-1,0)$,
$L(1,1,0,0)=L(0,0,1,1)=0_{RR^4}$.
Che ne dite?
Magari per esercizio può essere utile determinare entrambe le applicazioni lineari
Comunque credo che sia come dici tu Cirasa.
Comunque credo che sia come dici tu Cirasa.
Quoto... non ci avevo pensato...
In ogni caso per dire se esiste un endomorfismo che rispetti le condizioni devo provare che i vettori del dominio e del codominio costituiscono basi di $RR^4$, giusto?
No, i vettori sui quali definisci l'applicazione devono essere una base (quindi il dominio)...
La motivazione è abbastanza semplice intuitivamente. Poiché i vettori di base generano $V$, anzi sono l'insieme minimale di generatori, a meno di combinazioni lineari hai definito come deve operare su tutti i vettori tali applicazione.
Che siano base i vettori dell'immagine non ha molto senso, o meglio, non serve ai nostri fini. Altrimenti l'applicazione nulla (che è lineare) non sarebbe definita, poichè $0$ non può mai essere base di alcuno spazio.
La motivazione è abbastanza semplice intuitivamente. Poiché i vettori di base generano $V$, anzi sono l'insieme minimale di generatori, a meno di combinazioni lineari hai definito come deve operare su tutti i vettori tali applicazione.
Che siano base i vettori dell'immagine non ha molto senso, o meglio, non serve ai nostri fini. Altrimenti l'applicazione nulla (che è lineare) non sarebbe definita, poichè $0$ non può mai essere base di alcuno spazio.
ok, in sostanza basta che la base del dominio abbia dimensione massima perchè l'endomorfismo esista.
"Legico":
ok, in sostanza basta che la base del dominio abbia dimensione massima perchè l'endomorfismo esista.
Questa frase non ha molto senso... credo che tu abbia capito, ma non sei stato chiaro!
Cerca di formularla meglio!
mmm, allora: affinchè esista l'endomorfismo che rispetta le condizioni poste dal problema è necessario che il dominio sia finitamente generato da una base di vettori, e che questi ultimi costituiscano una base di $RR^4$. Dalla definizione di endomorfismo segue che anche i vettori del codominio saranno una base di $RR^4$.
"Legico":
. Dalla definizione di endomorfismo segue che anche i vettori del codominio saranno una base di $RR^4$.
questo non ha molto senso Endomorfismo significa solo che è un l'applicazione in uno stesso spazio (dominio coincide col codominio)
se pensiamo ad un'applicazione che associa $f(1,0,0,0)= f(0,1,0,0)= (1,0,0,0) ...$
chiaramente codominio non ha dimensione 4
sappiamo che vettori immagini della base del dominio generano l'immagine ma non necessariamente che sia una base
illuminami
"Legico":
mmm, allora: affinchè esista l'endomorfismo che rispetta le condizioni poste dal problema è necessario che il dominio sia finitamente generato da una base di vettori, e che questi ultimi costituiscano una base di $RR^4$. Dalla definizione di endomorfismo segue che anche i vettori del codominio saranno una base di $RR^4$.
Provo a dirtelo meglio, perchè ci sono un paio di cose che non mi convincono.
Il teorema dice che un'applicazione lineare è univocamente determinata dai valori che essa assume sui vettori di una base del dominio.
Come vedi (al di là del formalismo) dell'immagine non si parla proprio.
Quindi dati $n$ vettori con le relative immagini di uno spazio $n$-dimensionale, per vedere se tale applicazione lineare è effettivamente determinata, basterà verificare che essi (gli $n$-vettori) formino una base.
Nella fattispecie tu hai bisogno solamente di verificare che i tuoi $4$ vettori siano una base di $RR^4$, nulla più.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo