Sistema lineare parametrico

[bruhmoment]

A|B =$ ( ( k , 1, 1 ,k),( 1, -k, 1,1 ),( 1, 1 , 1, k ),( -1, -1 , 1, -1 ) ) $

Sia (x0,y0,z0) l'unica soluzione del sistema per quel valore di k reale per cui il sistema è quadrato.Trovare (x0,y0,z0)
Ho applicato il teorema di Rouchè capelli e poi ho calcolato il determinante ottenendo una equazione di secondo grado ma non so come continuare..

[Bokonon]

Benvenuto nel forum
Ho interpretato il problema così "Trovare il valore di k e la combinazione lineare delle prime tre colonne per cui si ottiene la quarta colonna"
Se le 4 colonne sono linearmente indipendenti, allora tale combinazione non esiste. Quindi vogliamo che il determinante della matrice sia pari a 0. Calcolando il determinante si ottiene $(k-1)(k^2+3)=0$ per cui si annulla solo per $k=1$. Sostituendo diventa evidente che la prima e la quarta colonna sono identiche, quindi la combinazione lineare cercata è $(1,0,0)$

[bruhmoment]

Ah ok perfetto.Grazie mille!

[gugo82]

"reddfeic":$(A|b) = ( ( k , 1, 1 ,k),( 1, -k, 1,1 ),( 1, 1 , 1, k ),( -1, -1 , 1, -1 ) ) $

Sia (x0,y0,z0) l'unica soluzione del sistema per quel valore di k reale per cui il sistema è quadrato.Trovare (x0,y0,z0).

Perché incasinarsi con i determinanti quando puoi ridurre con Gauss?

Riducendo (verso l'alto) rispetto a $a_(4,3)=1$ ottieni:

$((k+1, 2, 0, k+1), (2, 1-k, 0, 2), (2, 2, 0, k+1), (-1, -1, 1, -1))$

poi rispetto a $a_(3,2)=2$ trovi:

$((k-1, 0, 0, 0), (2(k+1), 0, 0, k^2+3), (2, 2, 0, k+1), (-1, -1, 1, -1))$

ed infine rispetto a $a_{2,1}=2(k+1)$ hai:

$((0, 0, 0, (k^2+3)(k-1)), (2(k+1), 0, 0, k^2+3), (2, 2, 0, k+1), (-1, -1, 1, -1))$

da cui segue che il sistema è determinato se e solo se $k=1$ (ed impossibile altrimenti). In tal caso, il sistema è equivalente al sistema quadrato (che si ottiene eliminando la prima equazione, tutta nulla) avente matrice completa associata:

$((4, 0, 0, 4), (2, 2, 0, 2), (-1, -1, 1, -1))$

ossia a:

$\{(x=1), (x+y=1), (-x-y+z=-1):}$

ed ha come soluzione $(x_0,y_0,z_0)=(1,0,0)$.