Teorema Dini e valore regolare

[jimbolino]

Buongiorno a tutti voi,

mi trovo perso in alcuni concetti di meccanica razionale che sfruttano la geometria differenziale e sono qui per chiedere una mano a voi.
Il tutto è iniziato in questo thread https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=204714 dove avevo posto la domanda riguardo a:



Dove si applica Dini, nel corso dello studio ho affrontato un altro teorema, quello del valore regolare, e mi è sorto un dubbio. Il consiglio di un altro utente è stato quello di scrivere qui, ed eccomi a tediarvi:

"jimbolino":
Si tratta del teorema del valore regolare, il quale dice:

Sia $f_k:M->R|f_k=c_k$ con M varietà, sia $c_k\inImf$ t.c lo jabociano $||(\partialf_k^i)/(partialx^lambda)||$ ha rango max=k in tutti i punti di $f^(-1)(c)$ allora c è detto valore regolare.

Inoltre se c è valore regolare => $f^(-1)(c)$ è sottovarietà di dimensionone: dim(M)-k.

Veniamo alla questione:

La mia idea è questa, se io prendo $f_k$ con k=1 equazione di vincolo che mettiamo mi definisca un paraboloide, la mia varietà a questo punto posso immaginara immersa in $R^3$.

La funzione di vincolo bilatero sarebbe $f(x,y,z)=0$

- Da un lato per Dini questa mi dice che posso parametrizzare il paraboloide con sole due coordinate (che poi saranno le q coordinate lagranigane): infatti ho 3 coordinate x,y,z e un vincolo che mi porta a poter parametrizzare (o avere una inversa della parametrizzazione, la carta mappa che crea l'omeomorfismo) con R^2.

- dall'altro per il teorema del valore regolare io ho la varietà paraboloide di dimensione chiaramente 2 e l'equazione di vincolo $f(x,y,z)=0$ che rispetta la condizione di jabobiana di rango massimo 1, quindi il fogliettamento che ne induce dovrebbe dire che ho una sottovarietà di dimensione 2(dim varietà)-1(equazione)=1 Assurdo perché in realtà $f(x,y,z)=0$ descrive il paraboloide quindi dovrebbe essere di dimensione 2 comunque! (errore mio che non vedo)


Forse il tutto si risolverebbe se dicessi che le coordinate (x,y,z) sono a loro volta indotte da una carta su una varietà di dimensione 3 e che il paraboloide è il fogliettamento di essa? Cioè vedere il paraboloide come il fogliettamento di un'altra varietà.

Insomma non riesco bene a mettere assieme i due teoremi che mi pare in questo caso abbiano un legame.
Sono un po' perso. Spero di aver spiegato il dubbio.

Ringrazio chi vorrà aiutarmi.

[dissonance]

In fondo, è tutto molto più semplice di quanto non sembri a prima vista. Se hai due equazioni in tre incognite, ti aspetti che la soluzione sia una famiglia a un parametro (ovvero, una curva). Ma ci vuole qualche condizione; per esempio, se una delle equazioni è \(0=0\), allora chiaramente non serve a niente; stesso discorso se una delle due equazioni è uguale all'altra, o se differisce da questa sono per uno scalare, ecc...

Nel caso lineare, queste condizioni sono fornite da Rouché-Capelli.
Nel caso nonlineare, queste condizioni sono fornite dal teorema della funzione implicita di Dini.

[jimbolino]

"dissonance":
Nel caso lineare, queste condizioni sono fornite da Rouché-Capelli.
Nel caso nonlineare, queste condizioni sono fornite dal teorema della funzione implicita di Dini.

Cavolo, è vero! In effetti non ci avevo mai pensato prima d'ora in un'ottica più aperta.

Ma invece per il teorema del valore regolare che citavo?