Applicazione lineare determinata dai valori che assume su una base.

[Pasquale 90]

Buongiorno,

Vi riporto la proposizione che vorrei vederne una sua applicazione

Siano $V,W$ due spazi vettoriali e sia $B_V={v_1,...,v_n}$ una base di $V$ e siano $w_1,...,w_n$ vettori qualunque di $W$. Allora esiste un'unica applicazione lineare $f:V to W$ tale che $forall j quad 1 le j le n$ si ha $ f(v_j)=w_j$.
L'applicazione $f$ è definita ponendo

$f(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1w_1+...+a_nw_n$

per tutti gli scalari $a_1,...,a_n in RR$.

Ora vi chiedo il seguente setting è corretto per poter applicarlo a quanto detto:
spazi vettoriali $RR^2, RR^3$ una base di $RR^2$ è $B_(RR^2)={(1,0),(0,1)}$
inoltre, $w_1=(1,2,0)$ e $w_2=(2,0,0)$

Ciao

[j18eos]

Tutto corretto

Qual è l'unica applicazione lineare che vuoi determinare?

[Pasquale 90]

"j18eos":
Qual è l'unica applicazione lineare che vuoi determinare?

Quella determinata da una sua base, cioè l'applicazione è univocamente determinata una volta che conosciamo una base di $V$, quindi possiamo dire che l'aggettivo unica viene citato perchè: per ogni base è possibile determinare un'unica applicazione lineare ??

Quindi se tutto va bene, procedo cosi, l'unica applicazione lineare dovrebbe farmi questo
$f(1,0)=w_1=(1,2,0)$
$f(0,1)=w_2=(2,0,0)$

quindi posso esprimere un generico vettore $v in RR^2$ ad esempio $v=(5,2)$, allora
$f(v)=f(5,2)=f(5(1,0)+2(0,1))=5w_1+2w_2=(5,10,0)+(4,0,0)=(9,10,0) in RR^3$

Ciao

[j18eos]

"Pasquale 90":[...]Quella determinata da una sua base, cioè l'applicazione è univocamente determinata una volta che conosciamo una base di $V$, quindi possiamo dire che l'aggettivo unica viene citato perchè: per ogni base è possibile determinare un'unica applicazione lineare ??[...]

[size=200]No![/size]

Fissate una base e le immagini di tale base esiste un'unica applicazione lineare tale che...

[Pasquale 90]

"j18eos":[quote="Pasquale 90"][...]Quella determinata da una sua base, cioè l'applicazione è univocamente determinata una volta che conosciamo una base di $V$, quindi possiamo dire che l'aggettivo unica viene citato perchè: per ogni base è possibile determinare un'unica applicazione lineare ??[...]

[size=200]No![/size]

Fissate una base e le immagini di tale base esiste un'unica applicazione lineare tale che...[/quote]

Forse mi sono espresso male, ma quello che vorrei dire che essendo che le basi degli spazi vettoriali non sono uniche, in funzione di queste abbiamo un'unica applicazione lineare, cioè al variare delle basi esiste un'unica applicazione lineare
Non è cosi ?

[j18eos]

De novo... si può fissare qualunque base (anche infinita), ma se non si fissano le immagini di questa base: come cacc**o si definisce quest'unica applicazione lineare?

Guardando al primo post, o per lo meno alla prima metà, si fissa la base e le immagini di questa; poi si definisce la funzione. Ma se uno si limita a dire "Fissata la base allora esiste un'unica applicazione lineare tale che..." sbaglia!

Esempio: Fisso la base canonica di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\); ed affermo che:
\[
f(1,0)=1,\,f(0,1)=-1;\\
g(1,0)=1,\,g(0,1)=0;
\]
ho fissato la base, ma quante applicazioni lineari ho definito (univocamente) da \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) ad \(\displaystyle\mathbb{R}\)?

[Pasquale 90]

Ok ok ok...ho capito

"j18eos":
ho fissato la base, ma quante applicazioni lineari ho definito (univocamente) da \( \displaystyle\mathbb{R}^2 \) ad \( \displaystyle\mathbb{R} \)?

2

Quindi risolto questo inghippo, la parte che faccio come esempio con il vettore $v=(5,2) $ può andare bene

[j18eos]

Certo che può andare bene l'esempio scelto. ^_^