Autovalori e forme quadratiche

[Daken97]

Salve a tutti, desidero un chiarimento circa gli autovalori e le forme quadratiche. Se per ipotesi, ho una matrice A di ordine n, con autovalori tutti strettamenti positivi, e un generico vettore X=(X1,.......,Xn), il prodotto X*A*X^t, è sempre strettamente positivo, a prescindere dal fatto che A sia simmetrica o meno?


P.s. X^t indica il vettore X trasposto, visto che ancora non ho compreso i codici per scrivere in matematichese su questo forum.

[Daken97]

"Sergio":[quote="Daken97"]Salve a tutti, desidero un chiarimento circa gli autovalori e le forme quadratiche. Se per ipotesi, ho una matrice A di ordine n, con autovalori tutti strettamenti positivi, e un generico vettore X=(X1,.......,Xn), il prodotto X*A*X^t, è sempre strettamente positivo, a prescindere dal fatto che A sia simmetrica o meno?

NB: Intendo $xAx^T$ come un lapsus oppure (meno probabile) come una notazione in cui si conviene che $x$ sia un vettore riga.
La risposta è no. Ad esempio, la matrice $((-14,-8,72),(4,6,-16),(-4,-2,20))$ ha autovalori $6,4,2$ ma se $x=(1,0,0)$ si ha \(x^TAx=-14\).
Il criterio del segno degli autovalori funziona con matrici simmetriche perché queste sono simili a matrici ortogonali, per le quali inversa e trasposta coincidono.
Si ha infatti $A=N^{-1}DN$, quindi $NAN^{-1}=D$, e ponendo $y=Nx$, $x=N^{-1}y$ si può scrivere:
\[x^TAx=y^T(N^{-1})^TAN^{-1}y=y^TNAN^{-1}y=y^TDy\]e poiché $y^TDy=\sum_{i}d_{ii}y_i^2$ il segno del prodotto dipende da quello degli autovalori (che sono gli elementi della diagonale principale di $D$).

"Daken97":P.s. X^t indica il vettore X trasposto, visto che ancora non ho compreso i codici per scrivere in matematichese su questo forum.

Non puoi arrivare a 133 messaggi senza aver imparato a scrivere le formule Non è difficile. Se conosci LaTeX, basta scrivere come scriveresti in LaTeX mettendo la formula tra "\(\backslash(\)" e "\(\backslash)\)", altrimenti puoi usare le semplici convenzioni di ASCIIMath che trovi qui. Ad esempio:

$x=(x_1,x_2,...,x_2)$

diventa $x=(x_1,x_2,...,x_2)$ (ti basta usare l'underscore per gli indici),

 $x^TAx$

diventa $x^TAx$ (non ti cambia nulla).[/quote]


No ma l'hai interpretato bene. Così come hai fatto bene a mostrare un controesempio, che non vedo l'ora di mostrare a un docente che mi voleva convincere che fosse vero ciò che ho scritto sopra.

[Daken97]

"Sergio":[quote="Daken97"]Così come hai fatto bene a mostrare un controesempio, che non vedo l'ora di mostrare a un docente che mi voleva convincere che fosse vero ciò che ho scritto sopra.

Non vorrei che non vi foste capiti, perché se l'argomento è "autovalori e forme quadratiche", allora:
a) è sempre possibile associare a una forma quadratica una matrice simmetrica;
b) per determinare se una forma quadratica è (semi)definita positiva o negativa, oppure indefinita, basta guardare il segno degli autovalori della matrice simmetrica associata (anche se non è sempre il metodo più comodo).[/quote]


No, perché lei sosteneva che quella verifica fosse valida per matrici generiche, e che quindi la scelta della matrice simmetrica, fosse utile per avere la certezza di trovare solo autovalori reali. Fatto sta che in un secondo momento, le ho posto il quesito con le ipotesi citate all'inizio.

[dissonance]

Il fatto è che
\[
x^TA x= x^T A_S x, \]
dove
\[
A_S:=\frac{1}{2}(A+A^T),\]
la "parte simmetrica" di \(A\). Questo è facile da vedere direttamente, può darsi che Sergio lo abbia anche scritto nel suo "Algebra lineare for dummies". Comunque, questo significa che solo la parte simmetrica interviene nella forma quadratica, e quindi dalla forma quadratica si possono trarre conclusioni solo sulla parte simmetrica; ora, se la matrice è simmetrica, allora essa coincide con la parte simmetrica, e va benissimo. Ma se la matrice non è simmetrica, avere informazioni sulla sua parte simmetrica potrebbe essere insufficiente, come nell'esempio di Sergio.

[dissonance]

[ot]Io avrei fatto scoprire a te qualcosa del genere?!? Mi sembra estremamente improbabile. Ricordo ancora benissimo di come mi salvasti ai tempi della mia tesi triennale. Dalla rabbia e dalla disperazione, ero ormai a un passo dallo scaraventare il computer e LaTeX fuori dalla finestra, perché dovevo compilare la tesi entro il giorno seguente e quello si impallava con ragioni assurde! [/ot]

È un ottimo metodo per trovare controesempi. Costruisci un sacco di matrici casuali finché non trovi una che ti piace.