Collezioni di spazi connessi, allora il prodotto è connesso
Sia \( \left( (X_i, \tau_{X_i} ) \right)_{i \in I} \) una collezione di spazi topologici connessi per cammini. Dimostra che il prodotto \(X= \prod_{i \in I} X_i \) con la topologia prodotto è connesso per cammino.
Non capisco una parte della dimostrazione
Siano \( x= (x_i)_{i \in I} \) e \( y= (y_i)_{i \in I} \) due punti di \( \prod_{i \in I} X_i \), allora per ogni \(i \) possiamo trovare un cammino \( \gamma_i \) in \( X_i \) tale che \(\gamma_i(0)=x_i \) e \( \gamma_i(1)=y_i \), (usando l'assioma della scelta). Sia \( \gamma : [0,1] \to X \) definito da \( \gamma(t) = (\gamma_i(t))_{i \in I} \)
Dimostriamo che \( \gamma \) è continuo. Siccome la topologia prodotto è generata da insiemi della forma
\[ U = \prod_{i \in I} U_i \] dove per ogni \( i \in I \), \(U_i \in \tau_{X_i} \) e dove l'insieme \( J \subset I \) tale che \( U_i \neq X_i \) è finito.
Allora (sarà banale ma io non capisco queste 3 uguaglianze che seguono)
\[ \gamma^{-1}(U)= \bigcap_{i \in I} \gamma_i^{-1}(U_i) = \bigcap_{i \in J} \gamma_i^{-1}(U_i) \]
siccome \(J \) è finito per ogni \( i \in J \) abbiamo che \( \gamma_i^{-1}(U_i) \) è aperto e quindi lo è \(\gamma^{-1}(U) \), pertanto \( \gamma \) è continua e dunque è un cammino.
Non capisco una parte della dimostrazione
Siano \( x= (x_i)_{i \in I} \) e \( y= (y_i)_{i \in I} \) due punti di \( \prod_{i \in I} X_i \), allora per ogni \(i \) possiamo trovare un cammino \( \gamma_i \) in \( X_i \) tale che \(\gamma_i(0)=x_i \) e \( \gamma_i(1)=y_i \), (usando l'assioma della scelta). Sia \( \gamma : [0,1] \to X \) definito da \( \gamma(t) = (\gamma_i(t))_{i \in I} \)
Dimostriamo che \( \gamma \) è continuo. Siccome la topologia prodotto è generata da insiemi della forma
\[ U = \prod_{i \in I} U_i \] dove per ogni \( i \in I \), \(U_i \in \tau_{X_i} \) e dove l'insieme \( J \subset I \) tale che \( U_i \neq X_i \) è finito.
Allora (sarà banale ma io non capisco queste 3 uguaglianze che seguono)
\[ \gamma^{-1}(U)= \bigcap_{i \in I} \gamma_i^{-1}(U_i) = \bigcap_{i \in J} \gamma_i^{-1}(U_i) \]
siccome \(J \) è finito per ogni \( i \in J \) abbiamo che \( \gamma_i^{-1}(U_i) \) è aperto e quindi lo è \(\gamma^{-1}(U) \), pertanto \( \gamma \) è continua e dunque è un cammino.
Risposte
L'uguaglianza segue da $t\in \gamma^-1(U) \iff \gamma(t)\in U \iff \gamma_{i}(t) \in \U_{i} \forall i \in I \iff t\in \gamma_{i)^-1(U_{i}) \forall i \in I$ e quindi nell'intersezione. Dopodiché $\gamma_{i}^-1(X_{i})=[0,1]$, allora è chiaro che vale la seconda diseguaglianza.
"Reyzet":
L'uguaglianza segue da $t\in \gamma^-1(U) \iff \gamma(t)\in U \iff \gamma_{i}(t) \in \U_{i} \forall i \in I \iff t\in \gamma_{i)^-1(U_{i}) \forall i \in I$ e quindi nell'intersezione. Dopodiché $\gamma_{i}^-1(X_{i})=[0,1]$, allora è chiaro che vale la seconda diseguaglianza.
Grazie! Si è chiaro!
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