Geometria e Algebra Lineare

Dimostra che \(S^1 \) e il nastro di Moebius sono omotopi. Credo che con omotopi intende omotopicamente equivalenti. Quindi dovrei trovare due applicazioni \(f: S^1 \to M \) e \( g: M \to S^1 \) tale che \( g \circ f \) è omotopo all'identità su \( S^1 \) e \( f \circ g \) è omotopo all'identità su \( M \). Dove con \(M \) indico il nastro di Moebius. Mentre le soluzioni del prof mi dicono una cosa che non abbiamo mai visto e vorrei capire perché funziona. Identifichiamo \(M \) con il ...

Per $W\subset V$, trovare una base dello spazio quoziente \(V/W\). Sia $B_W=(w_1,...,w_m)$ una base di $W$. Tale base può sempre essere estesa con opportuni vettori ad una base di $V$, $B_V=(w_1,...,w_m,v_{m+1},...,v_n)$. Claim: una base per lo spazio quoziente è data dall'insieme $(f(v_{m+1}),...,f(v_n))$, dove $f$ è l'omomorfismo naturale \(V\to V/W\). i) Indipendenza lineare: la relazione $a_{m+1}f(v_{m+1})+...+a_nf(v_n)=0$ implica per linearità $f(a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n)=0$, ovvero che ...

Sia \(H \) un sottogruppo di un gruppo topologico \(G \) separato. Dimostra che \( G/H \) è separato se e solo se \( H \) è chiuso in \(G \). Non capisco un paio di cose nella dimostrazione Sia \( \pi : G \to G/H \) l'applicazione quoziente definito per \( \pi(g)=\bar{g} = gH \) Se supponiamo \( G/H \) separato allora per tutti i \( G \ni g \not\in H \) abbiamo che possiamo trovare due aperti disgiunti \(U,V \subset G/H \) contenenti rispettivamente \( gH \) e \( H \). Allora \( \pi^{-1}(U) ...

Siano $x_1, x_2, x_3 in RR^2$ tali che: $||x_1||=||x_2||=||x_3||=1$ $x_1+x_2+x_3=(0, 0)$ Dimostrare che $x_1, x_2, x_3$ appartengono alla circonferenza unitaria e sono i vertici di un triangolo equilatero. I vettori appertengono alla circonferenza unitaria poiché hanno norma $1$. Congetturo che $||x_i - x_j||=1$ con $i!=j$, come si potrebbe dimostrare?

Sia \( G \) un gruppo e \( g_i, i \in I \) un insieme di elementi di \(G \). Consideriamo \( H = \left< g_i, i \in I \right> \) il sottogruppo generato dai \( g_i \) e \( N = \lhd g_i, i \in I \rhd \) il sotto gruppo normale generato dai \( g_i \). Dimostra che \( H \) è sotto gruppo di \( N \) ma in generale \( H \neq N \). Non riesco a capire come possa essere che \( H \neq N \). In generale dire che ogni elemento di \(h \in H \) può essere scritto come \(h = \prod_{k=1}^{n} g_k^{a_k} \) ...

Buonasera, Sto leggendo la definizione di sottospazio vettoriale. Sia $(V,+,*,K)$ spazio vettoriale su $K$ "posto per semplicità $V(K):=(V,+,*,K)$"e sia $WsubseteqV$ si definisce sottospazio vettoriale di $V(K)$ nella seguente maniera: $W$ sottospazio vettoriale di $V(K) \ <=> \ a) \ W ne emptyset, \ \ b)\ u,v in W\to\ u+v in W, \ c)\ a in K, \ u in W, \ to \ au in W.$ Vi chiedo ma le operazioni di somma e prodotto che vengono definite in $W$ sono quelle indotte da $V$ ? Mi verrebbe da dire di si ...

Non capisco una cosa di questo esercizio Fissati 3 gruppi, \(K,H,G \) e due omomorfismi \(K \xrightarrow{\alpha} G \) e \(K \xrightarrow{\beta} H \), definizione che mi hanno dato di pushout dei gruppi del diagramma \( H \xleftarrow{\beta} K \xrightarrow{\alpha} G \) è il gruppo quoziente del prodotto libero \[ G \ast_{K} H / \lhd \alpha(x) \beta(x)^{-1}, \forall x \in K \rhd \] dove con \( \lhd A \rhd \) intendo il sottogruppo normale generato da \( A \). Ora mi si chiede di determinare il ...

Sia \( \mathcal{C}_* \) l'insieme di tutte le applicazioni continue e puntate. Sia \( f: (X,x_0) \to (Y,y_0) \) un'applicazione puntata. Dimostra che per tutti gli spazi puntati \( (A,a_0) \) l'applicazione indotta per composizione \( f_* : \mathcal{C}_*(A,X) \to \mathcal{C}_*(A,Y) \) passa al quoziente e definisce un'applicazione \( f_* : [A,X]_* \to [A,Y]_* \), dove \( [A,X]_* \) è l'insieme dei classi d'omotopie puntate. Io ho pensato di fare così. Sia \( f: X \to Y \) tale che \( f(x_0) = ...

Ciao. l'esercizio in cui mi serve una mano è questo: Sia V un F-spazio vettoriale e sia U sottospazio di V. Dimostra che esiste un sottospazio W di V tale che: $ Uo+_iW=V $ , dove $ o+_i $ è l'operatore di somma diretta interna. Vi propongo uno svolgimento, potete controllare se è giusto? Sia $B_V$ base di $V$ e $B_U$ base di $U$ che esistono per l'esistenza delle basi. Voglio "trasformare" $B_U$ in modo da avere ...

Identificare una struttura cellulare del toro a tre buchi. In particolare calcolare il numero di 0-celle, 1-celle e 2-celle. Poi descrivere le applicazioni d'incollamento. Così come ho fatto: Consideriamo un poligono regolare \(P \subset \mathbb{R}^2 \) a 12 lati e etichettiamo i differenti lati del bordo con la parola \( aba^{-1} b^{-1} c d c^{-1}d^{-1} e f e^{-1} f^{-1} = [a,b] [c,d] [e,f] \) dove \( [x,y] \) è il commutatore di \( x,y \). Scegliamo uno spigolo di questo poligono e girando ...

Siano v1 = (1,0,1,1), v2 = (0,1,0,0), v3 = (1,0,1,0) e v4 = (0,0,1,1) e sia f : R4 → R3 l’applicazione lineare tale che: f(v1) = (2,4,0), f(v2) = (0,3,−3) , f(v3) = (3,3,3), f(v4) = (1,3,−1). i) Scrivere la matrice A che rappresenta f rispetto alle basi standard di R e R . Salve, il mio dubbio è: posso eseguire questo esercizi col cambiamento di base? Oppure non si può perché non ho la matrice dell’applicazione lineare? Se sì come si fa? Grazie

Mi sto avvicinando ora alla lettura di cosa sia uno spazio topologico. La definizione mi è chiara, mentre ciò su cui mi piacerebbe ricevere un chiarimento è la seguente ulteriore definizione: A base of the topological space \(\displaystyle (X,\tau) \) is a family \(\displaystyle \mathcal{B} \) of open subsets of \(\displaystyle X \) such that every open set \(\displaystyle G\in\tau \) is the union of some collection of elements of the family \(\displaystyle \mathcal{B} \). Una 'base' definita ...

Mi chiedevo cosa fosse esattamente una cellula. Non mi hanno dato una definizione di questo oggetto. Il prof utilizza la notazione \( e^n \) per indicare la palla chiuso in \( \mathbb{R}^n \) quando parla di cellule le indica sempre con \( e^n \) e mi chiedevo se le cellule sono semplicemente delle palle (piene) oppure cosa? Il dubbio mi è sorto da questo esercizio Sia \( \omega = e^{2\pi i/3 } \) una radice terza dell'unità. Definiamo l'azione del gruppo ciclico \( C_3 \) sulla sfera \( S^3 = ...

Dimostra che \( \mathbb{R}P^2 \# \mathbb{R}P^2 \) è omeomorfo alla bottiglia di Klein \(K \). Disegni chiari e spiegazioni dettagliate delle operazioni ed indentificazioni sono sufficienti, non chiediamo parametrizzazioni esplicite. Io ho pensato a questa cosa però non so come giustificare alcuni passaggi. In primo luogo so che \( \mathbb{R}P^2 \approx D^2/\sim \) dove \( D^2 \) è il disco pieno in \( \mathbb{R}^2 \) e \( \sim \) è la relazione antipodale. Inoltre siccome possiamo decomporre ...

Prove that the nth roots of 1 (also called the nth roots of unity) are given by $alpha, alpha^2, ... , alpha^(n-1)$, where $alpha = e^((2pi i)/n)$, and show that the roots $!=1$ satisfy the equation: $1 + x + x^2 + ... + x^(n-1) = 0$ Chiamiamo il polinomio $p_n(x) = 1 + x + x^2 + ... + x^(n-1)$. Per dimostrare che tutte le radici dell'unità $!=1$ sono radici di $p_n(x)$ è sufficiente dimostrare che lo è $alpha$. Infatti essendo il gruppo delle radici dell'unità ciclico ci sono solo ...

Avrei una domanda riguardo a quanto ha detto il prof per farci capire a livello intuitivo come sono costruite le due equivalenze d'omotopia. Siano \(f,f':A \to X \) omotope. Allora \( Y:=X \cup_f CA \simeq X \cup_{f'} CA=:Y' \) Dove \( CA \) è il cono di base \( f(A) \) e \( f'(A) \) rispettivamente. Nella dimostrazione costruisce \( h' : Y' \to Y \) e \( h : Y \to Y' \) dimostra costruendo un omotopia \(K \) che \( h' \circ h \) è omotopa a \( id_{Y} \) e in modo analogo che \( h \circ h' \) è ...

Ciao a tutti, ho un esercizio da proporvi. Si mostri che in uno spazio topologico di Hausdorff, $\forall I,U$ compatti e disgiunti $\exists V,Q$ aperti disgiunti tali che $I \subset V$ e $U \subset Q$ . Innanzitutto bisogna mostrare che $\forall x \notin U \exists V_x , Q_x$ aperti disgiunti tali che $x\in V_x$ e $U \subset Q_x$ è giusto? Voi come lo fareste?

Ciao a tutti, in ambito delle nozioni introduttive topologiche, fissati 2 spazi $A$ e $B$ ciascuno dotato della propria topologia, non mi e' chiara la differenza tra l'essere localmente omeomorfi piuttosto che esista un omeomorfismo locale tra i due. Grazie

Avrei una curiosità: dato che la somma tra due matrici (di uguali dimensioni) è definita come la matrice che ha per elementi la somma degli elementi delle medesime posizioni, il che è abbstanza natura, perchè il prodotto tra matrici è definito come la somma dei prodotti tra gli elementi di una colonna di una matrice e gli elementi di una riga dell'altra matrice, e non come il prodotto tra gli elementi in rispettive posizioni? C'è una motivazione teorica a questo? Grazie a chi mi saprà ...

Ciao ragazzi, sto studiando in università un corso di introduzione alla gravitazione relativistica. Ho intenzione di calcolare i simboli di Christoffel su una superficie sferica. Sapendo che $$ \partial_c e_a=\Gamma_{ca}^b e_b $$ la mia idea è di calcolare le derivate dei versori $e_{\theta}$ ed $e_{\phi}$ rispetto a $\theta$ e $\phi$. I versori sono quindi: $ { ( \mathbf{e_\{theta}}=\cos\theta \cos\phi \ \mathbf{e_x} + \cos\theta \sin\phi \ \mathbf{e_y} -\sin\theta\ \mathbf{e_z} ),( \mathbf{e_{\phi}}=-\sin\phi \ \mathbf{e_x} +\cos\phi \ \mathbf{e_y} ):} $ e se calcolo le derivate ( ...