Superfici k-dimensionali in $\mathbb{R}^n$: un primo esercizio
Sto imparando adesso cosa significhi rigorosamente la parola 'superficie k-dimesionale'.
La definizione che sto usando è questa:
un insieme \(\displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) è detto superficie k-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) se per ogni punto \(\displaystyle x_0\in S \) esiste un suo intorno \(\displaystyle U(x_0) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) (cioé un cambio di coordinate da \(\displaystyle (x_1,...,x_n) \) a \(\displaystyle (t_1,...,t_n) \)) tale che nelle nuove coordinate l'insieme \(\displaystyle U(x_0)\cap S \) si possa definire come \(\displaystyle t_{k+1}=...=t_n=0 \).
Vorrei cercare di capire se l'insieme \(\displaystyle S=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2|x_1^2-x_2^2=0\} \) è una superficie 1-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \).
Mi sembra di capire che la risposta sia no, a causa del fatto che \(\displaystyle (0,0)\in S \), ma non riesco a dimostrarlo.
Se suppongo per assurdo che S sia una superficie 1-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \), allora sto dicendo che sicuramente esiste un intorno dell'origine \(\displaystyle U((0,0)) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) di esso, tale che:
\(\displaystyle \varphi(x_1,x_2)=\left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ \varphi_2(x_1,x_2) \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ 0 \end{matrix}\right] \quad\forall (x_1,x_2)\in U((0,0))\cap S \)
tuttavia ancora non riesco a vedere l'assurdo.
Qualcuno può aiutarmi per favore?
La definizione che sto usando è questa:
un insieme \(\displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) è detto superficie k-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) se per ogni punto \(\displaystyle x_0\in S \) esiste un suo intorno \(\displaystyle U(x_0) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) (cioé un cambio di coordinate da \(\displaystyle (x_1,...,x_n) \) a \(\displaystyle (t_1,...,t_n) \)) tale che nelle nuove coordinate l'insieme \(\displaystyle U(x_0)\cap S \) si possa definire come \(\displaystyle t_{k+1}=...=t_n=0 \).
Vorrei cercare di capire se l'insieme \(\displaystyle S=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2|x_1^2-x_2^2=0\} \) è una superficie 1-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \).
Mi sembra di capire che la risposta sia no, a causa del fatto che \(\displaystyle (0,0)\in S \), ma non riesco a dimostrarlo.
Se suppongo per assurdo che S sia una superficie 1-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \), allora sto dicendo che sicuramente esiste un intorno dell'origine \(\displaystyle U((0,0)) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) di esso, tale che:
\(\displaystyle \varphi(x_1,x_2)=\left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ \varphi_2(x_1,x_2) \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ 0 \end{matrix}\right] \quad\forall (x_1,x_2)\in U((0,0))\cap S \)
tuttavia ancora non riesco a vedere l'assurdo.
Qualcuno può aiutarmi per favore?
Risposte
...praticamente, in generale \(\displaystyle S\) dev'essere localmente omeomorfa ad \(\displaystyle\mathbb{R}^k\): ti torna?
Quindi, il dato insieme \(\displaystyle S\) soddisfa o no questa condizione?
Quindi, il dato insieme \(\displaystyle S\) soddisfa o no questa condizione?
Con omeomorfa intendi che ci deve essere un diffeomorfismo almeno di classe $C^0$?
In tal caso si, mi torna, ma non so rispondere alla tua ultima domanda. Anzi, mi sembra che stavo tentando, con la dimostrazione per assurdo, proprio di rispondere a quella domanda.
In tal caso si, mi torna, ma non so rispondere alla tua ultima domanda. Anzi, mi sembra che stavo tentando, con la dimostrazione per assurdo, proprio di rispondere a quella domanda.
Sì, ti torna cosa?
Questo mi torna:
"j18eos":
...praticamente, in generale \(\displaystyle S\) dev'essere localmente omeomorfa ad \(\displaystyle\mathbb{R}^k\): ti torna?
Ecco: questo è vero per le "superfici \(\displaystyle k\)-dimensionali";
ma per il dato insieme \(\displaystyle S\) questa proprietà è vera?
ma per il dato insieme \(\displaystyle S\) questa proprietà è vera?
E non so rispondere purtroppo.
Tentavo di trovare una risposta dicendo: "supponiamo per assurdo che la soddisfi, allora..."
Sicuramente se tolgo l'origine, riesco a trovare 4 diffeomorfismi locali diversi, uno per ogni "ramo", che mi consentono di affermare che S è una superficie 1-dimensionale.
Tuttavia, con l'origine inclusa, non riesco a trovare un assurdo per poter dire che ciò non è più possibile.
Tentavo di trovare una risposta dicendo: "supponiamo per assurdo che la soddisfi, allora..."
"Silent":
Se suppongo per assurdo che S sia una superficie 1-dimensionale in \( \displaystyle \mathbb{R}^2 \), allora sto dicendo che sicuramente esiste un intorno dell'origine \( \displaystyle U((0,0)) \) e un diffeomorfismo \( \displaystyle \varphi \) di esso, tale che:
\( \displaystyle \varphi(x_1,x_2)=\left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ \varphi_2(x_1,x_2) \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} \varphi_1(x_1,x_2) \\ 0 \end{matrix}\right] \quad\forall (x_1,x_2)\in S \)
tuttavia ancora non riesco a vedere l'assurdo.
Sicuramente se tolgo l'origine, riesco a trovare 4 diffeomorfismi locali diversi, uno per ogni "ramo", che mi consentono di affermare che S è una superficie 1-dimensionale.
Tuttavia, con l'origine inclusa, non riesco a trovare un assurdo per poter dire che ciò non è più possibile.
Esatto;
se \(\displaystyle S\) fosse (lo scrivo in inglese) una \(\displaystyle1\)-manifold questo non potrebbe accadere... utilizzando la pura topologia: perché?
se \(\displaystyle S\) fosse (lo scrivo in inglese) una \(\displaystyle1\)-manifold questo non potrebbe accadere... utilizzando la pura topologia: perché?
Niente, non ci arrivo, comunque riporto un ragionamento aggiuntivo che forse sono riuscito a tirare fuori.
Dicevamo, se per assurdo esiste una trasformazione di coordinate \(\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) \) che in un intorno dell'origine \(\displaystyle (x_1=0,x_2=0) \) riesca a descrivere l'insieme S così:
\(\displaystyle S:\left\{\begin{matrix} \phi_1=\phi_1(x_1,x_2)\\ \phi_2=\phi_2(x_1,x_2)=0 \end{matrix}\right. \)
vuol dire che, per definizione di S:
\(\displaystyle \phi_2(x,x)=\phi_2(x,-x)=\phi_2(-x,x)=\phi_2(-x,-x)=0 \)
per ogni \(\displaystyle x\in\mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle (\pm x, \pm x)\in S\cap U((x_1=0,x_2=0)) \) e quindi, affinché l'intera trasformazione \(\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) \) sia biunivoca, deve succedere che \(\displaystyle \phi_1(\pm x,\pm x) \) fornisca sempre 4 valori diversi.
Da qui, ancora non riesco ad arrivare a un assurdo.
Dicevamo, se per assurdo esiste una trasformazione di coordinate \(\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) \) che in un intorno dell'origine \(\displaystyle (x_1=0,x_2=0) \) riesca a descrivere l'insieme S così:
\(\displaystyle S:\left\{\begin{matrix} \phi_1=\phi_1(x_1,x_2)\\ \phi_2=\phi_2(x_1,x_2)=0 \end{matrix}\right. \)
vuol dire che, per definizione di S:
\(\displaystyle \phi_2(x,x)=\phi_2(x,-x)=\phi_2(-x,x)=\phi_2(-x,-x)=0 \)
per ogni \(\displaystyle x\in\mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle (\pm x, \pm x)\in S\cap U((x_1=0,x_2=0)) \) e quindi, affinché l'intera trasformazione \(\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) \) sia biunivoca, deve succedere che \(\displaystyle \phi_1(\pm x,\pm x) \) fornisca sempre 4 valori diversi.
Da qui, ancora non riesco ad arrivare a un assurdo.
A parte che non capisco il motivo per cui \(\displaystyle\phi_2\equiv0\)...
Se l'insieme \(\displaystyle S\) fosse localmente omeomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{R}\) intorno a \(\displaystyle(0,0)\) significa che, togliendo un punto da \(\displaystyle\mathbb{R}\), quest'ultimo si dovrebbe spezzarsi in 4 pezzi. Topologicamente questo è assurdo: perché?
Se l'insieme \(\displaystyle S\) fosse localmente omeomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{R}\) intorno a \(\displaystyle(0,0)\) significa che, togliendo un punto da \(\displaystyle\mathbb{R}\), quest'ultimo si dovrebbe spezzarsi in 4 pezzi. Topologicamente questo è assurdo: perché?
"j18eos":
A parte che non capisco il motivo per cui $ϕ_2≡0$...
Per definizione di 1-manifold:
"Silent":
un insieme \( \displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) è detto superficie k-dimensionale in \( \displaystyle \mathbb{R}^n \) se per ogni punto \( \displaystyle x_0\in S \) esiste un suo intorno \( \displaystyle U(x_0) \) e un diffeomorfismo \( \displaystyle \varphi \) (cioé un cambio di coordinate da \( \displaystyle (x_1,...,x_n) \) a \( \displaystyle (t_1,...,t_n) \)) tale che nelle nuove coordinate l'insieme \( \displaystyle U(x_0)\cap S \) si possa definire come \( \displaystyle t_{k+1}=...=t_n=0 \).
"j18eos":
quest'ultimo si dovrebbe spezzarsi in 4 pezzi. Topologicamente questo è assurdo: perché?
Non lo so, sono sincero, non lo so.
Quello che posso dire è che se tolgo l'origine, l'intera \(\displaystyle S\setminus\{0\} \) (cioè l'insieme dei 4 rami) è una 1-manifold, perché soddisfa la definizione.
Scusa: quali sono le nozioni di topologia che conosci? 
P.S.: ho capìto perché \(\displaystyle\phi_2\equiv0\)!
P.S.: ho capìto perché \(\displaystyle\phi_2\equiv0\)!
Immagino che la risposta a questa domanda:
sia la definizione di k-manifold che ho scritto sopra, la definizione di diffeomorfismo e quella di omeomorfismo. Comunque forse ti può aiutare a ricevere una risposta sapere che sto studiando queste cose nel capitolo introduttivo all'analisi vincolata di massimi e minimi secondo Lagrange.
"j18eos":
Scusa: quali sono le nozioni di topologia che conosci?
sia la definizione di k-manifold che ho scritto sopra, la definizione di diffeomorfismo e quella di omeomorfismo. Comunque forse ti può aiutare a ricevere una risposta sapere che sto studiando queste cose nel capitolo introduttivo all'analisi vincolata di massimi e minimi secondo Lagrange.
Ora è tutto più chiaro...
In pratica, volevo farti notare che un punto taglia \(\displaystyle\mathbb{R}\) in due "pezzi", mentre \(\displaystyle S\setminus\{(0,0)\}\) è tagliato in quattro "pezzi"; per cui non possono essere omeomorfi e quindi non può essere una \(\displaystyle1\)-manifold.
Altrimenti, dovresti dimostrare brutalmente che \(\displaystyle rank J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)=0\), ovvero non può invertire \(\displaystyle\phi_1\) in \(\displaystyle(0,0)\); ma questo lo trovo più complicato...
Se non sono stato chiaro: domanda pure!
In pratica, volevo farti notare che un punto taglia \(\displaystyle\mathbb{R}\) in due "pezzi", mentre \(\displaystyle S\setminus\{(0,0)\}\) è tagliato in quattro "pezzi"; per cui non possono essere omeomorfi e quindi non può essere una \(\displaystyle1\)-manifold.
Altrimenti, dovresti dimostrare brutalmente che \(\displaystyle rank J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)=0\), ovvero non può invertire \(\displaystyle\phi_1\) in \(\displaystyle(0,0)\); ma questo lo trovo più complicato...
Se non sono stato chiaro: domanda pure!
Non riesco a formalizzare questa idea, mi puoi dare una spintina per favore?
"Silent":
Niente, non ci arrivo, comunque riporto un ragionamento aggiuntivo che forse sono riuscito a tirare fuori.
Dicevamo, se per assurdo esiste una trasformazione di coordinate \(\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) \) che in un intorno dell'origine \(\displaystyle (x_1=0,x_2=0) \) riesca a descrivere l'insieme S così:
\(\displaystyle S:\left\{\begin{matrix} \phi_1=\phi_1(x_1,x_2)\\ \phi_2=\phi_2(x_1,x_2)=0 \end{matrix}\right. \)
vuol dire che, per definizione di S:
\(\displaystyle \phi_2(x,x)=\phi_2(x,-x)=\phi_2(-x,x)=\phi_2(-x,-x)=0 \)
per ogni \(\displaystyle x\in\mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle (\pm x, \pm x)\in S\cap U((x_1=0,x_2=0)) \) e quindi, affinché l'intera trasformazione \(\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) \) sia biunivoca, deve succedere che \(\displaystyle \phi_1(\pm x,\pm x) \) fornisca sempre 4 valori diversi.
Da qui, ancora non riesco ad arrivare a un assurdo.
Quindi mi pare di capire che il ragionamento che ho riportato in questo messaggio non porta da nessuna parte, me lo confermi?
Con \(\displaystyle J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)\) intendo la matrice jacobiana della parametrizzazione da te scelta.
"j18eos":
Altrimenti, dovresti dimostrare brutalmente che \(\displaystyle rank J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)=0\), ovvero non può invertire \(\displaystyle\phi_1\) in \(\displaystyle(0,0)\); ma questo lo trovo più complicato...
Se non sono stato chiaro: domanda pure!
Probabilmente ora dico una cosa stupida, ma per il momento mi pare ragionevole.
Il teorema della funzione inversa, che immagino sia quello a cui stai facendo riferimento nella frase che ho quotato, non vale solo in un verso? (\(\displaystyle \implies \) ?)
Se ho rango massimo nella Jacobiana, posso invertire localmente la funzione. Se posso invertire localmente, non è detto che abbia rango massimo.
Per convincermi di questa cosa ho pensato a \(\displaystyle f(x)=x^3 \) in un intorno di \(\displaystyle x=0 \).
Quindi anche dimostrando che \(\displaystyle rank J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)=0\) non potrei comunque concludere niente, o mi sbaglio?
In effetti hai ragione: si ha solo una condizione sufficiente ma non necessaria...
Prova a ragionare col cambio di coordinate:
\[
\begin{cases}
x_1=y_1+y_2\\
x_2=y_1-y_2
\end{cases}
\]
dovresti concludere sùbito.
Oppure sbaglio?
Prova a ragionare col cambio di coordinate:
\[
\begin{cases}
x_1=y_1+y_2\\
x_2=y_1-y_2
\end{cases}
\]
dovresti concludere sùbito.
Oppure sbaglio?
Ma non è biunivoca, o mi sta sfuggendo qualcosa di profondo?
Cosa non è biettiva?
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