Base del nucleo di un'applicazione lineare

[paliotto98]

Scusate,sono al primo anno di matematica all'università,e mi sto scervellando letteralmente per capire una cosa di un esercizio che è fondamentale per trovare la base del nucleo di un'applicazione lineare.
Vorrei chiedere,come mai se le coordinate dei vettori del nucleo rispetto ad una determinata base sono
x1=0
3x1 + 2x2 + x3 = 0
-12x1 - 6x2 - 3x3 =0

il nucleo diviene il sottospazio vettoriale formato dai vettori (v2 - 2v3) e (v4)??
Qual è il passaggio matematico algebrico che devo attuare per trovare la base sotto forma di vettori??Grazie mille

[LoreT314]

Scritta così non ha molto senso... chi sono v2,v3,v4?

[paliotto98]

"LoreT314":Scritta così non ha molto senso... chi sono v2,v3,v4?

Scusa è vero,questa è la consegna dell'esercizio.Quello che vorrei sapere è il dubbio detto prima.Se riuscissi ad aiutarmi te ne sarei grato

Siano V e W spazi vettoriali su Q e V = {v1, . . . , v4}, W = {w1, w2, w3} due basi.
(a) Si scriva la matrice αV,W(φ) dell’omomorfismo φ: V → W, definito ponendo
φ(v1 − 2v2) = w1 − w2,
φ(−2v1 + 4v2 + v4) = −2w1 + 2w2,
φ(v2 + v4) = 2w2 − 6w3,
φ(v3 + 2v4) = w2 − 3w3.
(b) Si determinino dimensioni e basi per ker φ ed im φ.
(c) Si determini l’insieme φ−1
(w1 − 3w3)

[paliotto98]

"mb7":[quote="LoreT314"]Scritta così non ha molto senso... chi sono v2,v3,v4?

Scusa è vero,questa è la consegna dell'esercizio.Quello che vorrei sapere è il dubbio detto prima.Se riuscissi ad aiutarmi te ne sarei grato

Siano V e W spazi vettoriali su Q e V = {v1, . . . , v4}, W = {w1, w2, w3} due basi.
(a) Si scriva la matrice αV,W(φ) dell’omomorfismo φ: V → W, definito ponendo
φ(v1 − 2v2) = w1 − w2,
φ(−2v1 + 4v2 + v4) = −2w1 + 2w2,
φ(v2 + v4) = 2w2 − 6w3,
φ(v3 + 2v4) = w2 − 3w3.
(b) Si determinino dimensioni e basi per ker φ ed im φ.
(c) Si determini l’insieme φ−1
(w1 − 3w3)[/quote]
ovviamente la matrice associata l'ho calcolata e ridotta,e il sistema che ho scritto l'ho preso uguagliando a 0 i valori della matrice

[paliotto98]

"mb7":Scusate,sono al primo anno di matematica all'università,e mi sto scervellando letteralmente per capire una cosa di un esercizio che è fondamentale per trovare la base del nucleo di un'applicazione lineare.
Vorrei chiedere,come mai se le coordinate dei vettori del nucleo rispetto ad una determinata base sono
x1=0
3x1 + 2x2 + x3 = 0
-12x1 - 6x2 - 3x3 =0

il nucleo diviene il sottospazio vettoriale formato dai vettori (v2 - 2v3) e (v4)??
Qual è il passaggio matematico algebrico che devo attuare per trovare la base sotto forma di vettori??Grazie mille

Se qualcuno ha la soluzione al mio problema mi aiuti nel limite del possibile cortesemente,per me sarebbe importante togliermi ogni dubbio e continuare lo studio senza lacune,altrimenti dopo mi mancano passaggi e non capisco nulla

[paliotto98]

"Sergio":Francamente direi che per capire il problema che hai posto avere qualità divinatorie non è strettamente necessario, ma aiuterebbe parecchio
Ma non ti preoccupare: so bene che all'inizio è difficile mettere tutto bene a fuoco. Provo a indovinare.

Immaginiamo che la base sia \(\{v_1=(1,0,0,0),v_2=(0,1,0,0),v_3=(0,0,1,0),v_4=(0,0,0,1)\}\)
In qualche modo sai che un vettore \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\) è tale che:
a) \(x_1=0\): la prima componente è nulla, quindi \(v_1\)... non serve;
b) \(3x_1+2x_2+x_3=2x_1+x_3=0\): la terza componente è uguale al doppio della seconda cambiata di segno;
c) \(-12x_1-6x_2-3x_3=-6x_2-3x_3=0\): come sopra, niente di nuovo;
d) la quarta componente può fare quello che vuole.

Quindi per ottenere un qualsiasi vettore del nucleo:
1) poni a zero la prima componente: \(v_1\) rimane fuori;
2) la seconda componente sarà \(av_2\), la terza \(-2av_3\);
3) la quarta sarà un qualsiasi multiplo di \(v_4\).
Ad esempio: \(x = 0v_1+3v_2-6v_3+\pi v_4 = (0,3,-6,\pi)\).
Torniamo indietro: è vero che \(3x_1+2x_2+x_3=6-6=0\)? Direi di sì.

Era questo che ti sfuggiva, oppure è a me che sfugge qualcosa?

ciao,innanzitutto grazie infinite per la disponibilità,ho provato a rileggere quanto mi hai scritto ma onestamente mi sfugge qualche passaggio o probabilmente non riesco ad interpretarlo.Domattina,quando magari sarò un po più lucido,ci riproverò.Comunque l'esercizio dato è un esercizio già fatto,il mio problema sta nel capire come si passa dallo scrivere le coordinate in base V dei vettori del nucleo sotto forma di soluzioni di un sistema,ad arrivare a determinare il nucleo come base di due vettori(v2 - 2v3, e v4)

[paliotto98]

"Sergio":[quote="mb7"]Comunque l'esercizio dato è un esercizio già fatto,il mio problema sta nel capire come si passa dallo scrivere le coordinate in base V dei vettori del nucleo sotto forma di soluzioni di un sistema,ad arrivare a determinare il nucleo come base di due vettori(v2 - 2v3, e v4)

Tranquillo. Finché resterò nel forum (tutto ha una fine, a questo mondo), non mollerò fino a che non ti sarà tutto chiaro.
A domani![/quote]
ciao Sergio,riprovando a fare l'esercizio,e osservando la tua risposta,ho finalmente capito il meccanismo,in pratica si trattava di scrivere un vettore dello spazio come combinazione lineare degli xi del sistema uguagliati a 0,per ottenere una base del nucleo sotto forma di vettori.Grazie mille P S:Se non ho visto male credo che ti sei sbagliato a scrivere nel punto b),infatti la terza componente dovrebbe essere uguale al triplo e non al doppio della seconda.
Grazie mille mi sei stato di vero aiuto,ciaoo