Metriche topologicamente equivalenti

[dream981]

Salve, avrei un dubbio circa mettere in pratica la definizione di metriche topologicamente equivalenti.
In poche parole so che due metriche d e d' su X sono topologicamente equivalenti se inducono la stessa topologia su X, o meglio se hanno gli stessi insiemi aperti.
Ora il punto e' il seguente: devo svolgere un esercizio che mi da due metriche e devo dimostrare che esse sono topologicamente equivalenti.
Come faccio a trovare la topologia di una metrica e confrontarla con la topologia dell'altra metrica ?

le metriche sono :
\[ d(x,y) = |y-x| ; d'(x,y) = arctan |y-x|\]

Grazie in anticipo

[solaàl]

La topologia generata da una metrica ha come base le palle di raggio \(r\) e centro un punto dello spazio:
\[
\mathcal{B}_\tau = \{B(x,r) \mid x\in X, \; r\in [0,\infty)\}
\] Due topologie \(\sigma,\tau\) su \(X\) sono la stessa, se ogni aperto di $\sigma$ contiene un aperto di $\tau$, e viceversa, e questa condizione si può verificare su una base, ossia se \(\mathcal{B}_\tau \preceq \mathcal{B}_\sigma \preceq \mathcal{B}_\tau\), allora \(\sigma = \tau\).

Detto ciò, è evidente cosa devi dimostrare: devi prendere una palla aperta di
centro \(x\) e un punto \(y\in B_d(x,r)\), e trovare un'altra palla \(B_{d'}(x',r')\)...

[j18eos]

Potrebbe esserti utile il dimostrare che la funzione arcotangente è lipschitziana.