Applicazione lineare con un parametro
Salva a tutti,
sono alle prese con il seguente esercizio:
Siano
$$v_1=\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ -1\end{pmatrix}, a=\begin{pmatrix}1\\ 2 \\ -1\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, c_t=\begin{pmatrix}1\\ 2t \\ 1\end{pmatrix}$$
vettori di $\mathbb{R^3}$, con $t\in\mathbb{R}$.
Si provi che i vettori $v_1, v_2, v_3$ sono linearmente indipendenti.
Si determini per quali valori di $t$ esiste una applicazione lineare $L_t:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb{R^3}$ tale che
$$L_t(v_1)=a, L_t(v_2)=b, L_t(v_3)=c_t.$$
Ho proceduto a provare che i tre vettori sono linearmente indipendenti, ma poi mi sono immediatamente bloccato sul secondo. A mio parere, la risposta potrebbe essere per ogni $t\in\mathbb{R}$, ma comunque non saprei giustificarlo. E' da troppo tempo che non tocco Algebra Lineare purtroppo.
Qualcuno potrebbe darmi un suggerimento su come procedere? Gliene sarei infinitamente grato.
sono alle prese con il seguente esercizio:
Siano
$$v_1=\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ -1\end{pmatrix}, a=\begin{pmatrix}1\\ 2 \\ -1\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, c_t=\begin{pmatrix}1\\ 2t \\ 1\end{pmatrix}$$
vettori di $\mathbb{R^3}$, con $t\in\mathbb{R}$.
Si provi che i vettori $v_1, v_2, v_3$ sono linearmente indipendenti.
Si determini per quali valori di $t$ esiste una applicazione lineare $L_t:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb{R^3}$ tale che
$$L_t(v_1)=a, L_t(v_2)=b, L_t(v_3)=c_t.$$
Ho proceduto a provare che i tre vettori sono linearmente indipendenti, ma poi mi sono immediatamente bloccato sul secondo. A mio parere, la risposta potrebbe essere per ogni $t\in\mathbb{R}$, ma comunque non saprei giustificarlo. E' da troppo tempo che non tocco Algebra Lineare purtroppo.
Qualcuno potrebbe darmi un suggerimento su come procedere? Gliene sarei infinitamente grato.
Risposte
Boh si direi anche io per ogni t. D'altronde l'applicazione è determinata dalle immagini dei vettori di una base. Qui però lui ti fissa le immagini di due vettori che non sono sicuro una base. E non ci sono nemmeno richieste tipo l'iniettività. Quindi direi per ogni t.
L'iniettività di $L_t$ è richiesta al punto successivo del problema. Tuttavia, dovrei elaborare una risposta formale al problema e persiste quindi la difficoltà nel giustificarla.
Potresti esibire una L
Sia $v in RR^3$ e siano $alpha,beta, gamma$ le sue coordinate rispetto alla base ${v_1,v_2,v_3}$
Poni $L(v) =alpha a+beta b+gamma c_t$ e hai la tua applicazione
Lascio a te verificare che è lineare per ogni t.
Sia $v in RR^3$ e siano $alpha,beta, gamma$ le sue coordinate rispetto alla base ${v_1,v_2,v_3}$
Poni $L(v) =alpha a+beta b+gamma c_t$ e hai la tua applicazione
Lascio a te verificare che è lineare per ogni t.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo