Compatti per ricoprimenti e compatti per successioni
Mi è venuta una curiosità. So che negli spazi metrici compattezza per successioni e per ricoprimenti sono equivalenti.
In uno spazio topologico generico nessuna delle due implica l'altra (giusto?). La domanda è questa: esistono proprietà che garantiscono invece che la compattezza per successioni implichi quella per ricoprimenti o viceversa (ovviamente in uno spazio non metrizzabile)? Non so, ad esempio, che lo spazio topologico soddisfi qualche assioma di numerabilità...
Vi ringrazio in anticipo!
In uno spazio topologico generico nessuna delle due implica l'altra (giusto?). La domanda è questa: esistono proprietà che garantiscono invece che la compattezza per successioni implichi quella per ricoprimenti o viceversa (ovviamente in uno spazio non metrizzabile)? Non so, ad esempio, che lo spazio topologico soddisfi qualche assioma di numerabilità...
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Negli spazi topologici si ha una caratterizzazione che utilizza le reti (dette anche "successioni generalizzate"): uno spazio topologico X è compatto se e solo se ogni rete $(x_\alpha)$ in $X $ ammette una sottorete convergente a un punto $x in X$
Qui il concetto di Rete.
Di più non so, purtroppo!
Qui il concetto di Rete.
Di più non so, purtroppo!
A parte il discorso di mistake, che apre tutto un capitolo di strumenti topologici, io non ho mai sentito di altre condizioni oltre alla metrizzabilità che mettano in relazione la compattezza per ricoprimenti e la compattezza per successioni. Di solito, parlando di successioni, la richiesta da farsi su uno spazio topologico è che sia di Hausdorff e a basi numerabili di intorni (N1, primo numerabile, le notazioni sono diverse). In questo caso, infatti, per ogni sottoinsieme dello spazio le due nozioni di chiusura topologica e chiusura per successioni coincidono, cosicché la topologia dello spazio è completamente individuata dalle sue successioni convergenti.
Quindi io direi che come minimo bisognerà richiedere queste due proprietà; ma non credo che esse siano sufficienti a garantire l'equivalenza tra i due tipi di compattezza. Leggo in un inciso di Munkres Topology, a pagina 181, che lo spazio $S_\Omega$ (il più piccolo insieme bene ordinato non numerabile con aggiunto il punto $Omega$) dovrebbe (se ho capito bene!) essere un controesempio valido. Però non ne sono sicuro e non ho nessuna intenzione di mettermi a studiare per bene la faccenda, che non è affatto elementare!
Quindi io direi che come minimo bisognerà richiedere queste due proprietà; ma non credo che esse siano sufficienti a garantire l'equivalenza tra i due tipi di compattezza. Leggo in un inciso di Munkres Topology, a pagina 181, che lo spazio $S_\Omega$ (il più piccolo insieme bene ordinato non numerabile con aggiunto il punto $Omega$) dovrebbe (se ho capito bene!) essere un controesempio valido. Però non ne sono sicuro e non ho nessuna intenzione di mettermi a studiare per bene la faccenda, che non è affatto elementare!
Mmh, interessante. Grazie a entrambi! Quando avrò un po' di tempo mi metterò a approfondire quel che mi avete detto.
Dal Tallini-Strutture geometriche edizioni Liguori, pagina 219, proposizione IV:
I concetti di compattezza (per ricoprimenti di insiemi aperti) e di sequenziale compattezza (compattezza per successioni) sono equivalenti in uno spazio [tex]$\mathrm{T}_1;\,\mathrm{N}_1$[/tex] e che sia di Lindelöff!
I concetti di compattezza (per ricoprimenti di insiemi aperti) e di sequenziale compattezza (compattezza per successioni) sono equivalenti in uno spazio [tex]$\mathrm{T}_1;\,\mathrm{N}_1$[/tex] e che sia di Lindelöff!
Riesumo il topic perché mi sono accorto di un errore che avevo fatto nel primo post: in realtà - leggo sul Giusti - compattezza per ricoprimenti implica compattezza per successioni. E' il contrario che non sempre vale.
@j18eos: Grazie per la risposta! Scusami, ma l'ho letta solo ora perché non avevo più controllato il topic
@j18eos: Grazie per la risposta! Scusami, ma l'ho letta solo ora perché non avevo più controllato il topic
"Antimius":
...in realtà - leggo sul Giusti - compattezza per ricoprimenti implica compattezza per successioni. E' il contrario che non sempre vale...
Ma quando mai: leggi qui e qui!
"Antimius":Prego, di nulla!
...@j18eos: Grazie per la risposta!...
Ah, dunque avevo detto bene all'inizio.
Il Giusti, in un capitolo dedicato agli spazi funzionali, parla degli insiemi compatti e fa la ben nota caratterizzazione negli spazi metrici per cui le due nozioni di compattezza si equivalgono.
Poi in un'osservazione dice che le due nozioni continuano ad avere senso in spazi topologici, ma cade la loro equivalenza. E dice che in generale, vale ancora la relazione [tex]$\text{compatto} \Rightarrow \text{compatto per successioni}$[/tex]. Però, non dà ulteriori specificazioni.
La dimostrazione che lui dà di questa implicazione è ovviamente negli spazi metrici, ma mi sembrava abbastanza generale.
Evidentemente utilizza nel mezzo il primo assioma di numerabilità (che nel tuo link leggo essere la condizione che fa valere questa implicazione), ma non riesco a capire dove. Provo a postare la dimostrazione.
Sia [tex]$X$[/tex] uno spazio topologico compatto (per ricoprimenti) e supponiamo che esista una successione [tex]$x_k$[/tex] dalla quale non possibile estrarre alcuna successione convergente.
Consideriamo [tex]$x \in X$[/tex]. Se in ogni intorno di $x$ cadessero infiniti punti della successione [tex]$x_k$[/tex], si potrebbe estrarre da questa una sottosuccessione convergente a [tex]$x$[/tex] (*), contro l'ipotesi. Di conseguenza, per ogni [tex]$x \in X$[/tex] esiste un intorno [tex]$I_x$[/tex] in cui cadono solo un numero finito di punti di [tex]$x_k$[/tex].
Al variare di [tex]$x \in X$[/tex], questi intorni formano un ricoprimento di [tex]$X$[/tex]. Allora esistono un numero finito di intorni tale che [tex]$X=I_{x_1} \cup \dots \cup I_{x_N}$[/tex].
Ma questo è assurdo dato che in ognuno di tali intorni cadono solo un numero finito di punti di [tex]$x_k$[/tex] mentre in [tex]$X$[/tex] ne cadono infiniti.
(*) Ho l'impressione che il primo assioma di numerabilità venga usato qui, ma non riesco a capire come.
Il Giusti, in un capitolo dedicato agli spazi funzionali, parla degli insiemi compatti e fa la ben nota caratterizzazione negli spazi metrici per cui le due nozioni di compattezza si equivalgono.
Poi in un'osservazione dice che le due nozioni continuano ad avere senso in spazi topologici, ma cade la loro equivalenza. E dice che in generale, vale ancora la relazione [tex]$\text{compatto} \Rightarrow \text{compatto per successioni}$[/tex]. Però, non dà ulteriori specificazioni.
La dimostrazione che lui dà di questa implicazione è ovviamente negli spazi metrici, ma mi sembrava abbastanza generale.
Evidentemente utilizza nel mezzo il primo assioma di numerabilità (che nel tuo link leggo essere la condizione che fa valere questa implicazione), ma non riesco a capire dove. Provo a postare la dimostrazione.
Sia [tex]$X$[/tex] uno spazio topologico compatto (per ricoprimenti) e supponiamo che esista una successione [tex]$x_k$[/tex] dalla quale non possibile estrarre alcuna successione convergente.
Consideriamo [tex]$x \in X$[/tex]. Se in ogni intorno di $x$ cadessero infiniti punti della successione [tex]$x_k$[/tex], si potrebbe estrarre da questa una sottosuccessione convergente a [tex]$x$[/tex] (*), contro l'ipotesi. Di conseguenza, per ogni [tex]$x \in X$[/tex] esiste un intorno [tex]$I_x$[/tex] in cui cadono solo un numero finito di punti di [tex]$x_k$[/tex].
Al variare di [tex]$x \in X$[/tex], questi intorni formano un ricoprimento di [tex]$X$[/tex]. Allora esistono un numero finito di intorni tale che [tex]$X=I_{x_1} \cup \dots \cup I_{x_N}$[/tex].
Ma questo è assurdo dato che in ognuno di tali intorni cadono solo un numero finito di punti di [tex]$x_k$[/tex] mentre in [tex]$X$[/tex] ne cadono infiniti.
(*) Ho l'impressione che il primo assioma di numerabilità venga usato qui, ma non riesco a capire come.
Beh, gli spazi metrici sono particolari spazi topologici [tex]$\mathrm{T}_4$[/tex] o normali ed a base numerabile od [tex]$\mathrm{N}_2$[/tex], e queste proprietà topologiche sono dovute alla metrica soggiacente, quindi è un errore gravissimo d'ingenuità credere che quanto dimostri per essi sia sic et simpliciter valido in un generico spazio topologico; seppur normale a base numerabile.
Tornando alla tua (*), eccoti una proprietà equivalente all'assioma [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex], la quale è utilizzata nella dimostrazione citata:
se ci fai caso, in apparenza tale proprietà è più forte della assioma [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] per come lo conosci, ma ribadisco che è una falsa apparenza.
Tornando alla tua (*), eccoti una proprietà equivalente all'assioma [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex], la quale è utilizzata nella dimostrazione citata:
Uno spazio topologico [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex] soddisferebbe l'assioma [tex]$\mathrm{N_1}$[/tex] se e solo se per ogni suo punto [tex]$P$[/tex] esistesse una successione strettamente decrescente di suoi intorni tali da costituirne un sistema fondamentale di intorni.
se ci fai caso, in apparenza tale proprietà è più forte della assioma [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] per come lo conosci, ma ribadisco che è una falsa apparenza.
Sì, mi ero confuso perché in quella dimostrazione non mi sembrava venissero usate proprietà particolari degli spazi metrici che non sono valide negli spazi topologici in generale. E invece era meno evidente 
Grazie di nuovo!
Grazie di nuovo!
Di nuovo: di nulla!
Sono di nuovo qui
Mi è sorto un altro dubbio, rileggendo quel che mi hai detto prima. Uno spazio metrizzabile è [tex]$N_1$[/tex], ma non sono sicuro che sia [tex]$N_2$[/tex].
Ad esempio se si prende [tex]$\mathbb{R}$[/tex] con la topologia discreta, esso è uno spazio metrizzabile (tramite metrica discreta), ma non è a base numerabile, perché tutti i singleton dovrebbero appartenere a una tale base (essendo aperti). Allora la cardinalità della base sarebbe quella del continuo. Sbaglio?
Mi è sorto un altro dubbio, rileggendo quel che mi hai detto prima. Uno spazio metrizzabile è [tex]$N_1$[/tex], ma non sono sicuro che sia [tex]$N_2$[/tex].
Ad esempio se si prende [tex]$\mathbb{R}$[/tex] con la topologia discreta, esso è uno spazio metrizzabile (tramite metrica discreta), ma non è a base numerabile, perché tutti i singleton dovrebbero appartenere a una tale base (essendo aperti). Allora la cardinalità della base sarebbe quella del continuo. Sbaglio?
Questo blocco mentale mi venne anche a me, lo risolsi con questo esercizio dal Tallini:
Sia [tex]$(S;d)$[/tex] uno spazio metrico discreto, dimostrare che sono equivalenti le seguenti nozioni:Se non mi sbagliassi:
a) separabilità;
b) base numerabile;
c) sostegno numerabile.
Uno spazio metrico [tex]$(S;d)$[/tex] sarebbe [tex]$\mathrm{N}_2$[/tex] se e solo se fosse separabile.
Accidenti, hai una risposta per tutto!
Ti confermo che non ho detto scemenze nell'ultimo post!
Beh, non sono onnisciente, non esageriamo, consulto i testi dato che col caldo non ce la faccio!
Beh, non sono onnisciente, non esageriamo, consulto i testi dato che col caldo non ce la faccio!
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