Esame di geometria, esercizio
Ciao a tutti!
Se possibile, vorrei proporvi questo esercizio, era nel compito d'esame, non mi è riusciuto e mi è rimasto in testa
.
Voi come lo risolvereste e che procedimento usereste?
Il piano per A= (-1,1,0), ortogonale al piano x-y-z=0 e parallelo alla retta
y+ 2z=3
3x+2y-z=0
ma passa anche per il punto: (scrivere il punto)
Grazie
Se possibile, vorrei proporvi questo esercizio, era nel compito d'esame, non mi è riusciuto e mi è rimasto in testa
.Voi come lo risolvereste e che procedimento usereste?
Il piano per A= (-1,1,0), ortogonale al piano x-y-z=0 e parallelo alla retta
y+ 2z=3
3x+2y-z=0
ma passa anche per il punto: (scrivere il punto)
Grazie
Risposte
Il testo non è chiaro, cosa vuoi, un punto qualunque di quel piano?
Un piano è individuato da due vettori linearmente indipendenti e da un suo punto.
Il punto ce l'hai ( A ), mentre i due vettori te li procuri così:
1. il vettore direzione della retta che ti dà l'esercizio (se è parallela al piano significa che il suo vettore direzione è anche vettore del piano)
2. il vettore perpendicolare al piano $x-y-z=0$, che si ricava facilmente ricordando la seguente regola generale: il vettore $(a,b,c)$ è perpendicolare al piano $ax+by+cz+d=0$.
Avendo questi vettori $v,w$ e il punto $A$ puoi scrivere le eq. parametriche del piano con parametri $s,t$ in questo modo:
$((x),(y),(z))= s v + tw + ((-1),(1),(0))$
Se puoi vuoi trovare un punto qualsiasi del piano è facile, basta che attribuisci due valori arbitrari a $s,t$.
Paola
Un piano è individuato da due vettori linearmente indipendenti e da un suo punto.
Il punto ce l'hai ( A ), mentre i due vettori te li procuri così:
1. il vettore direzione della retta che ti dà l'esercizio (se è parallela al piano significa che il suo vettore direzione è anche vettore del piano)
2. il vettore perpendicolare al piano $x-y-z=0$, che si ricava facilmente ricordando la seguente regola generale: il vettore $(a,b,c)$ è perpendicolare al piano $ax+by+cz+d=0$.
Avendo questi vettori $v,w$ e il punto $A$ puoi scrivere le eq. parametriche del piano con parametri $s,t$ in questo modo:
$((x),(y),(z))= s v + tw + ((-1),(1),(0))$
Se puoi vuoi trovare un punto qualsiasi del piano è facile, basta che attribuisci due valori arbitrari a $s,t$.
Paola
Il testo diceva esattamente così, in più, essendo test a crocetta, dava anche 5 possibili risposte:
Il piano per A= (-1,1,0), ortogonale al piano x-y-z=0 e parallelo alla retta
y+ 2z=3
3x+2y-z=0
passa anche per il punto:
1) nessuna delle altre risposte
2) (0, -1, 0)
3) (0, 0, -1)
4) (-1, 0, 0)
5) (0, 0, 0)
Grazie comunque per la rapidità e la disponibilità
Il piano per A= (-1,1,0), ortogonale al piano x-y-z=0 e parallelo alla retta
y+ 2z=3
3x+2y-z=0
passa anche per il punto:
1) nessuna delle altre risposte
2) (0, -1, 0)
3) (0, 0, -1)
4) (-1, 0, 0)
5) (0, 0, 0)
Grazie comunque per la rapidità e la disponibilità
Curiosità mia, ma se io trovo un vettore ortogonale alla retta , essendo ortogonale al piano questo vettore non coinciderà con il vettore direzione del piano?
Se la retta appartiene al piano e prendi un vettore ad essa ortogonale non è assolutamente detto che esso sia anche ortogonale al piano.
Facilissimo da vedere con un disegno.
Non capisco la tua costruzione Darèios89, cosa vuoi fare?
Paola
Facilissimo da vedere con un disegno.
Non capisco la tua costruzione Darèios89, cosa vuoi fare?
Paola
Bò non fa per me la geometria, scusate se io ho...un foglio A4, e disegno una retta, un vettore ortogonale alla retta potrebbe essere il mio indice giusto, ovviamente poggiato sulla retta che va verso l' alto, ma non è ortogonale anche al piano?
Se posso essere un pò off-topic, quando si ha una retta, il vettore associato ad una retta si chiama vettore normale giusto? Quello del piano invece si chiama direzionale?
Se posso essere un pò off-topic, quando si ha una retta, il vettore associato ad una retta si chiama vettore normale giusto? Quello del piano invece si chiama direzionale?
Penso che sia il mio primo post di "aiuto" per qualcuno, se non sono tanto chiaro scusate! (magari Paola potrebbe correggermi se sbaglio=)).
Immagina di essere nello spazio di dimensione 3, e di avere come piano $W$ = Span(e1,e2), con e1, e2 vettori della base canonica.
Se prendi una retta appartenente a W, per esempio $Z$=Span(e1), un vettore a essa ortogonale è, per esempio, lo stesso e2, il quale non è assolutamente ortogonale a $W$.
Ti torna?
Immagina di essere nello spazio di dimensione 3, e di avere come piano $W$ = Span(e1,e2), con e1, e2 vettori della base canonica.
Se prendi una retta appartenente a W, per esempio $Z$=Span(e1), un vettore a essa ortogonale è, per esempio, lo stesso e2, il quale non è assolutamente ortogonale a $W$.
Ti torna?
Eh insomma quasi fino alla fine, però come si vede che il vettore e2 non è ortogonale al piano? Il piano in questo caso è dato da due vettori, come faccio a considerarli con e2 per verificare che il vettore e2 non è ortogonale? Io ho pensato se prendo il piano che è:
[tex](1,0,0),(0,1,0)[/tex] dovrei poterlo esprimere come [tex](1,1,0)[/tex] che non sarebbe ortogonale a e2.
[tex](1,0,0),(0,1,0)[/tex] dovrei poterlo esprimere come [tex](1,1,0)[/tex] che non sarebbe ortogonale a e2.
Nell'esempio che ti ho fatto ovviamente mi riferivo al prodotto scalare canonico.
Applicando la definizione, cosa significa chiedersi se e2 è ortogonale al piano?
Vuol dire constatare se è ortogonale a ogni vettore della base del piano, e questo non succede perché e2 non è un vettore isotropo (in particolare visto che ci riferiamo al prodotto scalare canonico non ne esistono di vettori isotropi non nulli), infatti
$ = 1 != 0 $. Quindi e2 non è ortogonale a ogni vettore della base del piano, per cui non è ortogonale al piano.
Applicando la definizione, cosa significa chiedersi se e2 è ortogonale al piano?
Vuol dire constatare se è ortogonale a ogni vettore della base del piano, e questo non succede perché e2 non è un vettore isotropo (in particolare visto che ci riferiamo al prodotto scalare canonico non ne esistono di vettori isotropi non nulli), infatti
$
Ah quindi considero entrambi i vettori del piano e verifico se sono ortogonali al vettore che mi interessa, questo non si verifica in effetti.
Grazie.
Grazie.
Sì, è la definizione di spazio ortogonale:lo spazio dei vettori ortogonali a OGNI vettore appartenente allo spazio in questione.
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