Orogonalità di spazi vettoriali: aiuto dimostrazione...
sto cercando di dimostrare che $(V^(\bot))^(\bot)=V$ dove V è uno spazio vettoriale e $V^(\bot)$ è l'ortogonale di V.
in un passaggio della dimostrazione di farebbe comodo sapere se $V^(\bot)\subseteqV$ o meglio ancora $(V^(\bot))^(\bot)\subseteqV$
non ho idea se possa essere vero...e tanto meno come dimostrarla! mi potreste dare una mano?
grazie mille in anticipo a chi mi risponderà seriamente
in un passaggio della dimostrazione di farebbe comodo sapere se $V^(\bot)\subseteqV$ o meglio ancora $(V^(\bot))^(\bot)\subseteqV$
non ho idea se possa essere vero...e tanto meno come dimostrarla! mi potreste dare una mano?
grazie mille in anticipo a chi mi risponderà seriamente
Risposte
Ma $V$ è lo spazio totale? Se si, è banale: $V^bot={0}$ (proprietà di non degenerazione del prodotto scalare) e quindi (eccetera...). Metti qualche dettaglio in più.
no credo che lo spazio totale il mio professore lo chiami $K^n$ perché è tale che $K^n=V^(\bot)+V$ e inoltre definisce $V^(\bot)={u\inK^n: u\botv, \forall v\inV}$
è possibile allora dimostrare che $V^\bot\subseteqV$? ... se $V\subseteqK^n$
Eh, ecco vedi, così è diverso. $V$ è sicuramente un sottospazio vettoriale di $K^n$. Ma queste cose le devi specificare altrimenti come si fa a capire?
Dunque, $V^bot subset V$ è proprio falso e se ti stai sforzando di dimostrarlo significa che non hai afferrato il concetto. Ragiona geometricamente. Nello spazio $RR^3$, cosa è il complemento ortogonale di un piano? Una retta, ad esso normale. Costruiscila, come suggerisce maurer, con un foglio di carta e una penna. Ti pare che la retta-penna sia contenuta nel piano-foglio?
Dunque, $V^bot subset V$ è proprio falso e se ti stai sforzando di dimostrarlo significa che non hai afferrato il concetto. Ragiona geometricamente. Nello spazio $RR^3$, cosa è il complemento ortogonale di un piano? Una retta, ad esso normale. Costruiscila, come suggerisce maurer, con un foglio di carta e una penna. Ti pare che la retta-penna sia contenuta nel piano-foglio?
Ciao dissonance, scusa ma non ho capito cosa intendi.
Zaed non ha parlato di prodotto scalare canonico, né di prodotto scalare non degenere, no?
Zaed non ha parlato di prodotto scalare canonico, né di prodotto scalare non degenere, no?
Un appunto.
Attenzione, la tesi è in generale falsa.
Si ha: dato $V$ uno spazio vettoriale munito di prodotto scalare, $W$ un suo sottospazio, è vero che $(W^{bot})^{bot})=\bar{W}$, cioè è uguale alla sua chiusura.
In particolare, tutti gli spazi vettoriali di dimensione finita sono chiusi, e quindi hai il tuo teorema nel caso in cui ambienti il tutto in uno spazio $V=\K^n$.
Attenzione, la tesi è in generale falsa.
Si ha: dato $V$ uno spazio vettoriale munito di prodotto scalare, $W$ un suo sottospazio, è vero che $(W^{bot})^{bot})=\bar{W}$, cioè è uguale alla sua chiusura.
In particolare, tutti gli spazi vettoriali di dimensione finita sono chiusi, e quindi hai il tuo teorema nel caso in cui ambienti il tutto in uno spazio $V=\K^n$.
scusatemi...perchè in questa dispensa: http://www.mondovi.polito.it/ebook/doc/alglin.pdf a pag 99, corollario 7.5...nella "prova" dicono che $L\subseteq(L^(\bot))^(\bot)$ per definizione? a me pare che L lo definiscano(inizio pagina 99) come è definito anche nel mio libro...come fanno quindi ad arrivare a dire che $L\subseteq(L^(\bot))^(\bot)$??
E' praticamente per definizione. Nel senso che è talmente ovvio che non merita una spiegazione!
Prendi [tex]\bold x \in L[/tex]. Chi sono gli elementi di [tex](L^\bot)^\bot[/tex]? Sono tutti gli elementi ortogonali a quelli di [tex]L^\bot[/tex]. Ma se [tex]\bold y \in L^\bot[/tex], allora per definizione di [tex]L^\bot[/tex] si ha [tex]\langle \bold x, \bold y \rangle = 0[/tex], sicché [tex]\bold x \in (L^\bot)^\bot[/tex].
Prendi [tex]\bold x \in L[/tex]. Chi sono gli elementi di [tex](L^\bot)^\bot[/tex]? Sono tutti gli elementi ortogonali a quelli di [tex]L^\bot[/tex]. Ma se [tex]\bold y \in L^\bot[/tex], allora per definizione di [tex]L^\bot[/tex] si ha [tex]\langle \bold x, \bold y \rangle = 0[/tex], sicché [tex]\bold x \in (L^\bot)^\bot[/tex].
uff...il mio prof vuole sicuramente una dimostrazione più articolata e più seria...non so come fare però...
Guarda che la dimostrazione che ho dato è perfettamente rigorosa.
Dimmi, qual è il passaggio che non ti convince?
Dimmi, qual è il passaggio che non ti convince?
beh ha detto che era un po difficile come dimostrazione e alcuni parlavano che si dovesse usare gram-schmidt!!...boh...per me va benissimo quella che hai fatto tu infatti anche io quando ha proposto sto es ho pensato che fosse banalmente così...non saprei
vabbe cmq grazie lo stesso:)
vabbe cmq grazie lo stesso:)
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