Polare parabola
Ciao, amici!
Non sono del tutto sicuro che si tratti di un argomento "universitario", però, dato che trovo spesso l'argomento delle rette polari di un punto rispetto ad una conica in dispense universitarie, posto qua, scusandomi con i moderatori se sbaglio...
Leggo che l'equazione della polare di un punto $P_0(x_0;y_0)$ rispetto alla parabola $y=ax^2+bx+c$ è $ax_0x+b(x+x_0)/2+c-(y+y_0)/2=0$, ma non trovo da nessuna parte una dimostrazione. Ce ne sono di molto semplici ed utili all'utilissimo sito http://www.nabla.hr/Z_Pre-CalculusParabolaAndLine_2.htm ,ma non quella della parabola nella forma $y=ax^2+bx+c$.
Ho fatto parecchi tentativi, ma l'unica conclusione che mi pare sensata* cui giungo è che la tangente in un punto di ascissa $x_0$ deve avere coefficiente angolare $m=2ax_0+b$, data la derivata $(dy)/(dx)=2ax_0+b$...
Qualcuno potrebbe darmi una mano segnalando link o una possibile "strada" da percorrere...?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Davide
*Un esempio dei miei maldestri tentativi è stato che ho sottratto le equazioni della tangente in $x_2$ e di quella in $x_1$, giungendo alla conclusione che il coefficiente angolare della polare debba essere $(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=2a(x_2+x_1)+b-2ax_0$ dove non riesco ad "eliminare" quelle $x_1$ ed $x_2$...
Non sono del tutto sicuro che si tratti di un argomento "universitario", però, dato che trovo spesso l'argomento delle rette polari di un punto rispetto ad una conica in dispense universitarie, posto qua, scusandomi con i moderatori se sbaglio...
Leggo che l'equazione della polare di un punto $P_0(x_0;y_0)$ rispetto alla parabola $y=ax^2+bx+c$ è $ax_0x+b(x+x_0)/2+c-(y+y_0)/2=0$, ma non trovo da nessuna parte una dimostrazione. Ce ne sono di molto semplici ed utili all'utilissimo sito http://www.nabla.hr/Z_Pre-CalculusParabolaAndLine_2.htm ,ma non quella della parabola nella forma $y=ax^2+bx+c$.
Ho fatto parecchi tentativi, ma l'unica conclusione che mi pare sensata* cui giungo è che la tangente in un punto di ascissa $x_0$ deve avere coefficiente angolare $m=2ax_0+b$, data la derivata $(dy)/(dx)=2ax_0+b$...
Qualcuno potrebbe darmi una mano segnalando link o una possibile "strada" da percorrere...?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Davide
*Un esempio dei miei maldestri tentativi è stato che ho sottratto le equazioni della tangente in $x_2$ e di quella in $x_1$, giungendo alla conclusione che il coefficiente angolare della polare debba essere $(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=2a(x_2+x_1)+b-2ax_0$ dove non riesco ad "eliminare" quelle $x_1$ ed $x_2$...
Risposte
Eureka, credo! Si dimostra facilmente, almeno in modo intuitivo, ragionando come nel caso delle formule di sdoppiamento che si usano per calcolare prontamente le tangenti alle coniche...
Ciao e grazie a tutti quanti sono "passati" da questo post!
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