Equazione retta passante per due punti
La classica formula è:
[tex]\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}[/tex]
Ma nello spazio, in cui ho anche z, vale la stessa formula aggiungendo solo z?
[tex]\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}[/tex]
Ma nello spazio, in cui ho anche z, vale la stessa formula aggiungendo solo z?
Risposte
Ciao,
la risposta è no, purtroppo
per avere una retta passante per due punti nello spazio devi utilizzare l'equazione della retta in forma parametrica
dati due punti $H(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ e $K(x_{2}, y_{2}, z_{2})$
l'equazione della retta passante per questi due punti è:
$ { ( x = x_{1} + (x_{2} - x_{1})t ),( y = y_{1} + (y_{2} - y_{1})t ),( z = z_{1} + (z_{2} - z_{1})t ):} $
spero di esserti stato di aiuto
la risposta è no, purtroppo
per avere una retta passante per due punti nello spazio devi utilizzare l'equazione della retta in forma parametrica
dati due punti $H(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ e $K(x_{2}, y_{2}, z_{2})$
l'equazione della retta passante per questi due punti è:
$ { ( x = x_{1} + (x_{2} - x_{1})t ),( y = y_{1} + (y_{2} - y_{1})t ),( z = z_{1} + (z_{2} - z_{1})t ):} $
spero di esserti stato di aiuto
Aaaah, non mi quadrava qualche cosa infatti....grazie tante!
La formula "classica" è ottenuta dalla considerazione seguente, e vi
è una sua forma generale, di cui quella in 2D è particolare:
Considero due punti in $RR^n$: $A":"(x_(A1),x_(A2),...,x_(An))$ e $B:(x_(B1),x_(B2),...,x_(Bn))$.
Considero ora un punto $P$ generico, di coordinate $(x_1,x_2,...,x_n)$.
Affinchè il punto $P$ appartenga alla retta passante per $A$ e $B$, i due
vettori $\vec(PA)$ e $\vec(BA)$ devono essere paralleli, quindi linearmente dipendenti.
Allora impongo che la matrice
$ ((x_1-x_(A1),x_(B1)-x_(A1)),(...,...),(x_n-x_(An),x_(Bn)-x_(An)))$
abbia rango 1.
Il che vuol dire che i determinanti di tutti i minori di ordine 2 siano tutti nulli.
Per il teorema degli orlati, ho così
1 equazione (banalmente indipendente) in $RR^2$, 2 equazioni indipendenti in $RR^3$, ..., n-1 equazioni indipendenti in $RR^n$.
è una sua forma generale, di cui quella in 2D è particolare:
Considero due punti in $RR^n$: $A":"(x_(A1),x_(A2),...,x_(An))$ e $B:(x_(B1),x_(B2),...,x_(Bn))$.
Considero ora un punto $P$ generico, di coordinate $(x_1,x_2,...,x_n)$.
Affinchè il punto $P$ appartenga alla retta passante per $A$ e $B$, i due
vettori $\vec(PA)$ e $\vec(BA)$ devono essere paralleli, quindi linearmente dipendenti.
Allora impongo che la matrice
$ ((x_1-x_(A1),x_(B1)-x_(A1)),(...,...),(x_n-x_(An),x_(Bn)-x_(An)))$
abbia rango 1.
Il che vuol dire che i determinanti di tutti i minori di ordine 2 siano tutti nulli.
Per il teorema degli orlati, ho così
1 equazione (banalmente indipendente) in $RR^2$, 2 equazioni indipendenti in $RR^3$, ..., n-1 equazioni indipendenti in $RR^n$.
Credo che per la forma cartesiana si usi questa: $ { ( \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=frac{z-z_1}{z_2-z_1} ),( \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=frac{y-y_1}{y_2-y_1} ):} $ , correggetemi se sbaglio...!
E' giusto _
è quello che volevo dire:
in 2D
$(x-x_A)(y_B-y_A)-(y-y_A)(x_B-x_A)=0$
in 3D
$(x-x_A)(y_B-y_A)-(y-y_A)(x_B-x_A)=0$
$(x-x_A)(z_B-z_A)-(z-z_A)(x_B-x_A)=0$
e così via..
è quello che volevo dire:
in 2D
$(x-x_A)(y_B-y_A)-(y-y_A)(x_B-x_A)=0$
in 3D
$(x-x_A)(y_B-y_A)-(y-y_A)(x_B-x_A)=0$
$(x-x_A)(z_B-z_A)-(z-z_A)(x_B-x_A)=0$
e così via..
Si corretto ma il problema è se ho questi punti:
[tex]A(1,h^2,1),B(h,1,1)[/tex]
L' equazione come diventa? Facendo quei conti mi ritrovo:
[tex]\frac{x-1}{h-1}=\frac{y-h^2}{1-h^2}=\frac{z-1}{1-1}[/tex]
E svolgendo i calcoli otterrei:
[tex]x-xh^2-1+h^2=yh-y-h^3[/tex]
Vi risulta?
E se dovessi prendere un vettore parallelo ad essa sarebbe [tex]w(1-h^2,h-1,0)[/tex] ?
[tex]A(1,h^2,1),B(h,1,1)[/tex]
L' equazione come diventa? Facendo quei conti mi ritrovo:
[tex]\frac{x-1}{h-1}=\frac{y-h^2}{1-h^2}=\frac{z-1}{1-1}[/tex]
E svolgendo i calcoli otterrei:
[tex]x-xh^2-1+h^2=yh-y-h^3[/tex]
Vi risulta?
E se dovessi prendere un vettore parallelo ad essa sarebbe [tex]w(1-h^2,h-1,0)[/tex] ?
hai DUE equazioni cartesiane, non una.
Non puoi prenderle come divisioni, o avresti una divisione per zero.
Infatti originalmente non sono divisioni, ma moltiplicazioni (determinanti di matrici).
Il sistema è:
$(x-x_1)(y_2-y_1)=(x_2-x_1)(y-y_1)$
$(x-x_1)(z_2-z_1)=(x_2-x_1)(z -z_1)$
Così:
$(x-1)(1-h^2)=(h-1)(y-h^2)$
e
$(x-1)(1-1)=0=(h-1)(z-1)$
Non puoi prenderle come divisioni, o avresti una divisione per zero.
Infatti originalmente non sono divisioni, ma moltiplicazioni (determinanti di matrici).
Il sistema è:
$(x-x_1)(y_2-y_1)=(x_2-x_1)(y-y_1)$
$(x-x_1)(z_2-z_1)=(x_2-x_1)(z -z_1)$
Così:
$(x-1)(1-h^2)=(h-1)(y-h^2)$
e
$(x-1)(1-1)=0=(h-1)(z-1)$
Quindi l' equazione è data da queste due a sistema.
E un vettore parallelo è:
[tex](1-h^2,h-1,h-1)[/tex] ?
E un vettore parallelo è:
[tex](1-h^2,h-1,h-1)[/tex] ?
per avere un vettore parallelo basta che tu risolva il sistema
che ti è dato dalle due equazioni SENZA i termini noti.
avrai perciò due equazioni indipendenti in tre incognite: ne poni una come parametro -per semplicità lo poni uguale a zero, e trovi
le altre due componenti.
che ti è dato dalle due equazioni SENZA i termini noti.
avrai perciò due equazioni indipendenti in tre incognite: ne poni una come parametro -per semplicità lo poni uguale a zero, e trovi
le altre due componenti.
Quindi se per esempio ponessi [tex]z=t[/tex] avrei come vettore:
[tex](h-1,-h+1,1)[/tex] ?
[tex](h-1,-h+1,1)[/tex] ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo