Quoziente e omeomorfismi

[Butterman]

Devo svolgere questo esercizio:
Mostrare che il quoziente $O(n,\mathbb{R})$/$O(n−1,\mathbb{R})$ è omeomorfo a $\mathbb{S}^(n-1)$.

Pensavo a questo:
Il gruppo ortogonale agisce in modo naturale sulla sfera. Esiste un'applicazione continua $α: O(n)× \mathbb{S}^(n-1)\mapsto \mathbb{S}^(n-1)$ tale che, $\forall X\in O(n)$, l'applicazione $α(X,.): \mathbb{S}^(n-1) \mapsto \mathbb{S}^(n-1)$ è un omeomorfismo e, $\forall X,Y \in O(n)$ ho:
$α(Y, α(X,.)) = α(Y X,.)$.
L'azione è transitiva: $\forall P, Q \in \mathbb{S}^(n-1)$ $\exists X\in O(n)$ tale che:
$α(X, P) = Q$. Lo stabilizzatore di un punto $P\in \mathbb{S}^(n-1)$ è isomorfo a $O(n−1)$: $\forall P\in \mathbb{S}^(n-1)$, ho:
${X\in O(n) : α(X,P) = P} \cong O(n−1)$

Ora non so come andare avanti e arrivare alla conclusione.

[j18eos]

Inizia a dimostrare che l'insieme \(\displaystyle O(n)/O(n-1)\) è equipotente ad \(\displaystyle\mathbb{S}^{n-1}\); ricorda che il primo è un insieme quoziente del gruppo agente su uno stabilizzatore di un punto dell'insieme delle orbite.

Chiare le denominazioni?

Come riferimento bibliografico, mi viene in mente il libro di geometria differenziale di Warnen...