Esercizio su spazi vettoriali
Salve a tutti ho un dubbio sull'esercizio seguente:
Sia $ V = {(x, y) ∈ C^2 : 5x − 2y = 0} sube C ^2 $ .
a) Provare che V è un R-sottospazio vettoriale di C^2
b) Determinare una base e la dimensione di V come R-sottospazio vettoriale e come C-
sottospazio vettoriale.
So che l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio, ma io sono abituato a vederlo come C-sottospazio vettoriale di $C^2$ che sarebbe generato dal vettore $ (2,5) $ e in tal caso avrebbe dimensione 1. Cosa cambia se lo vedo come R-spaziovettoriale? Dovrei utilizzare una quaterna di numeri??
Sia $ V = {(x, y) ∈ C^2 : 5x − 2y = 0} sube C ^2 $ .
a) Provare che V è un R-sottospazio vettoriale di C^2
b) Determinare una base e la dimensione di V come R-sottospazio vettoriale e come C-
sottospazio vettoriale.
So che l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio, ma io sono abituato a vederlo come C-sottospazio vettoriale di $C^2$ che sarebbe generato dal vettore $ (2,5) $ e in tal caso avrebbe dimensione 1. Cosa cambia se lo vedo come R-spaziovettoriale? Dovrei utilizzare una quaterna di numeri??
Risposte
\( \newcommand{\pt}[1]{\bigl(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\bigr)} \)Ciao. Ma per "\( \mathbb R \)-sottospazio" di \( \mathbb C^2 \) (su dove? su \( \mathbb C \)?) intendi un sottospazio di \( \mathbb C^2 \) chiuso per moltiplicazione per scalari reali? Perché è ovvio che se per ogni \( \pt{z\\w}\in V \) è \( (\alpha + i\beta)\pt{z\\w}\in V \), allora la stessa cosa regge anche per un qualche \( \alpha\in\mathbb R \).
I ordine. Quel \( V \) è uno spazio vettoriale su \( \mathbb C \), i cui elementi sono coppie \( \pt{z\\w} \) di numeri complessi; di più: i suoi elementi sono tutti i multipli della coppia \( \pt{2\\5} \). Quindi lo spazio, su \( \mathbb C \), ha dimensione \( 1 \). Nota che
\[
\begin{aligned}
V &= \left\{z\pt{2\\5}:z\in\mathbb C\right\}\\
&= \left\{(\alpha + i\beta)\pt{2\\5}:\alpha + i\beta\in\mathbb C\right\}\\
&= \left\{\alpha\pt{2\\5} + \beta\pt{2i\\5i}:\alpha + i\beta\in\mathbb C\right\}
\end{aligned}
\] e che quindi \( V \) è l'insieme di tutte le combinazioni lineari reali (aka, coi coefficienti presi tra i reali) dei due suoi elementi \( \pt{2\\5} \) e \( i\pt{2\\5} \). Considera questi due vettori come vettori di \( V \)-come-spazio-su-\( \mathbb C \), e come vettori di \( V \)-come-spazio-su-\( \mathbb R \): che differenza c'è?
I ordine. Quel \( V \) è uno spazio vettoriale su \( \mathbb C \), i cui elementi sono coppie \( \pt{z\\w} \) di numeri complessi; di più: i suoi elementi sono tutti i multipli della coppia \( \pt{2\\5} \). Quindi lo spazio, su \( \mathbb C \), ha dimensione \( 1 \). Nota che
\[
\begin{aligned}
V &= \left\{z\pt{2\\5}:z\in\mathbb C\right\}\\
&= \left\{(\alpha + i\beta)\pt{2\\5}:\alpha + i\beta\in\mathbb C\right\}\\
&= \left\{\alpha\pt{2\\5} + \beta\pt{2i\\5i}:\alpha + i\beta\in\mathbb C\right\}
\end{aligned}
\] e che quindi \( V \) è l'insieme di tutte le combinazioni lineari reali (aka, coi coefficienti presi tra i reali) dei due suoi elementi \( \pt{2\\5} \) e \( i\pt{2\\5} \). Considera questi due vettori come vettori di \( V \)-come-spazio-su-\( \mathbb C \), e come vettori di \( V \)-come-spazio-su-\( \mathbb R \): che differenza c'è?
Sì intendo proprio un sottospazio di $\mathbb C^2$ con moltiplicazioni per scalari reali. Credo di avere capito e ho capito il concetto che sta dietro al suo ragionamento tuttavia avrei una curiosità. È lecito vedere l'insieme delle soluzioni come un vettore del tipo $(Re_1,Im_1,Re_2,Im_2)$ e vedere quindi $\mathbb C^2$ come spazio quadridimensionale oppure devo per forza considerare le soluzioni come un numero complesso di per sé quindi avere un vettore come da lei descritto $(z,w)$?
\( \newcommand{\pt}[1]{\bigl(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\bigr)} \)Sì, certo. I vettori \( 1 \) e \( i \) sono una base di \( \mathbb C \) inteso come \( \mathbb R \)-spazio; e i vettori \( \pt{1\\0} \), \( \pt{i\\0} \), \(
\pt{0\\1},\pt{0\\i} \) sono una base di \( \mathbb C^2 \) ancora inteso come \( \mathbb R \)-spazio. Quindi \( \mathbb C^2\cong\mathbb R^4 \) mappando \( \pt{z_1\\z_2}\mapsto\pt{\Re z_1 & \Im z_1 & \Re z_2 & \Im z_2}^\intercal \) o \( \pt{z_1\\z_2}\mapsto\pt{\Re z_1 & \Re z_2 & \Im z_1 & \Im z_2}^\intercal \) o...
\pt{0\\1},\pt{0\\i} \) sono una base di \( \mathbb C^2 \) ancora inteso come \( \mathbb R \)-spazio. Quindi \( \mathbb C^2\cong\mathbb R^4 \) mappando \( \pt{z_1\\z_2}\mapsto\pt{\Re z_1 & \Im z_1 & \Re z_2 & \Im z_2}^\intercal \) o \( \pt{z_1\\z_2}\mapsto\pt{\Re z_1 & \Re z_2 & \Im z_1 & \Im z_2}^\intercal \) o...
"vondex":No, ti prego
lei
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