Gruppo fondamentale e legge di composizioni.
Sia \(G \) un gruppo topologico con punto base l'elemento neutro \(1_G\) e \( \mu : G \times G \to G \) la moltiplicazione, definiamo una legge di composizione \(\bullet \) su \( \pi_1 G \). Siano \(f,g : S^1 \to G \) due laccetti. Il laccetto \( f \bullet g \) è definito da \( (f \bullet g )(t9 = \mu ( f(t),g(t)) \).
1) Sia \( (X,x_0 ) \) uno spazio puntato. Dimostra che esiste un applicazione iniettiva (e continua) \( X \vee X \hookrightarrow X \times X \) che identifica il wedge come sotto spazio del prodotto
2) Dimostra che la composizione \( S^1 \xrightarrow{\text{pinch}} S^1 \vee S^1 \hookrightarrow S^1 \times S^1 \) è omotopo alla diagonale \( \Delta : S^1 \to S^1 \times S^1 \).
3) Dimostra con un argomento di diagramma (commutativo a meno di un omotopia) che la legge \( \bullet \) coincide con la legge di concatenazione \( \star \) in \( \pi_1 G \).
Io ho provato a fare così
1) Abbiamo che \( X \vee X = X \coprod_{\{\ast\}} X / (x_0,0) \sim (x_0,1) \) e dunque l'applicazione
\[ \iota : X \vee X \to X \times X \]
Definita da
\[ (x,0) \mapsto (x,x_0 )\]
\[ (x,1) \mapsto (x_0,x) \]
è l'inclusione di \( X \vee X \) in \( X \times X \)
In modo analogo abbiamo che \( \iota \) è l'unica applicazione che fa commutare il pushout
Per 2) non so bene come trovare l'omotopia \( H : S^1 \times I \to S^1 \times S^1 \) tale che \( H(x,0) = \iota \circ p \) e \( H(x,1) = \Delta \), anche perché non ho ben capito cos'è il pinch. Qualcuno ha idee?
3) L'omotopia (non trovata) al punto 2) mi permette di dire che il seguente diagramma commuta a meno di un omotopia
Ovvero \( \iota \circ p \neq \Delta \), in più due applicazioni omotope \( f \simeq g : X \to Y \) tra due spazi topologici puntati inducono lo stesso morfismo dei gruppi \( f_* = g_* : [ Y, G]_* \to [X , G]_* \) e abbiamo per definizione che \( [S^1,X]_* = \pi_1 X \) per tutti gli spazi puntati \(X \). Inoltre abbiamo che \( \pi_1(X \times Y) \cong \pi_1 X \times \pi_1 Y \) e \( [S^1 \vee S^1, X]_* \cong \pi_1 X \ast \pi_1 X \) dove \( \ast \) è il prodotto libero. Pertanto abbiamo che il diagramma seguente è commutativo
E dunque abbiamo che \( \star =(\iota \circ p)_* = \Delta_* = \bullet \)
Vi sembra corretto?
1) Sia \( (X,x_0 ) \) uno spazio puntato. Dimostra che esiste un applicazione iniettiva (e continua) \( X \vee X \hookrightarrow X \times X \) che identifica il wedge come sotto spazio del prodotto
2) Dimostra che la composizione \( S^1 \xrightarrow{\text{pinch}} S^1 \vee S^1 \hookrightarrow S^1 \times S^1 \) è omotopo alla diagonale \( \Delta : S^1 \to S^1 \times S^1 \).
3) Dimostra con un argomento di diagramma (commutativo a meno di un omotopia) che la legge \( \bullet \) coincide con la legge di concatenazione \( \star \) in \( \pi_1 G \).
Io ho provato a fare così
1) Abbiamo che \( X \vee X = X \coprod_{\{\ast\}} X / (x_0,0) \sim (x_0,1) \) e dunque l'applicazione
\[ \iota : X \vee X \to X \times X \]
Definita da
\[ (x,0) \mapsto (x,x_0 )\]
\[ (x,1) \mapsto (x_0,x) \]
è l'inclusione di \( X \vee X \) in \( X \times X \)
In modo analogo abbiamo che \( \iota \) è l'unica applicazione che fa commutare il pushout
[tex]\xymatrix{
\{ \ast \} \ar[r] \ar[d]& X \ar@/^1pc/[ddr]^{(x_0,id_X)} \ar[d] \\
X\ar[r]\ar@/_1pc/[drr]_{(id_X,x_0 )} & X \vee X \ar@{.>}[dr]_{\iota}&& \\
&&X \times X &&
}[/tex]
\{ \ast \} \ar[r] \ar[d]& X \ar@/^1pc/[ddr]^{(x_0,id_X)} \ar[d] \\
X\ar[r]\ar@/_1pc/[drr]_{(id_X,x_0 )} & X \vee X \ar@{.>}[dr]_{\iota}&& \\
&&X \times X &&
}[/tex]
Per 2) non so bene come trovare l'omotopia \( H : S^1 \times I \to S^1 \times S^1 \) tale che \( H(x,0) = \iota \circ p \) e \( H(x,1) = \Delta \), anche perché non ho ben capito cos'è il pinch. Qualcuno ha idee?
3) L'omotopia (non trovata) al punto 2) mi permette di dire che il seguente diagramma commuta a meno di un omotopia
[tex]\xymatrix{
S^1 \ar[r]^{p} \ar[dr]_{\Delta}& S^1 \vee S^1 \ar[d]^{\iota} \\
& S^1 \times S^1 &&
}[/tex]
S^1 \ar[r]^{p} \ar[dr]_{\Delta}& S^1 \vee S^1 \ar[d]^{\iota} \\
& S^1 \times S^1 &&
}[/tex]
Ovvero \( \iota \circ p \neq \Delta \), in più due applicazioni omotope \( f \simeq g : X \to Y \) tra due spazi topologici puntati inducono lo stesso morfismo dei gruppi \( f_* = g_* : [ Y, G]_* \to [X , G]_* \) e abbiamo per definizione che \( [S^1,X]_* = \pi_1 X \) per tutti gli spazi puntati \(X \). Inoltre abbiamo che \( \pi_1(X \times Y) \cong \pi_1 X \times \pi_1 Y \) e \( [S^1 \vee S^1, X]_* \cong \pi_1 X \ast \pi_1 X \) dove \( \ast \) è il prodotto libero. Pertanto abbiamo che il diagramma seguente è commutativo
[tex]\xymatrix{
\pi_1 G \times \pi_1 G \ar[r] \ar[dr]_{\bullet}& \pi_1 G \ast \pi_1 G \ar[d]^{\star} \\
& \pi_1 G &&
}[/tex]
\pi_1 G \times \pi_1 G \ar[r] \ar[dr]_{\bullet}& \pi_1 G \ast \pi_1 G \ar[d]^{\star} \\
& \pi_1 G &&
}[/tex]
E dunque abbiamo che \( \star =(\iota \circ p)_* = \Delta_* = \bullet \)
Vi sembra corretto?
Risposte
Quello che devi mostrare è che queste due curve sono omotope:
(quella rossa e quella blu). Forse con un disegno è più facile.
(quella rossa e quella blu). Forse con un disegno è più facile.
"solaàl":
Quello che devi mostrare è che queste due curve sono omotope:
(quella rossa e quella blu). Forse con un disegno è più facile.
Ciao, scusa non capisco per quale punto devo mostrare che le due curve sono omotope. Intendi per il \(2 \) ? E perché questo dimostrerebbe il 2?
La curva rossa è l'immagine di $S^1$ mediante $\Delta$; la curva blu è l'immagine di $S^1$ mediante \(\iota \circ p\).
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