Dimostrazioni nello spazio proiettivo

[fruff]

Testo dell'esercizio:

Sullo spazio proiettivo $\mathbb{P}^(n)(\mathbb{R})$ consideriamo la topologia quoziente della topologia euclidea su $\mathbb{R}^(n+1)$\ ${0}$ modulo la relazione di proporzionalità.

(a) Mostrare che l’inclusione $j_0 : \mathbb{R}^(n) → \mathbb{P}^(n)(\mathbb{R})$ con
$(x_1, . . . , x_n) → [1, x_1, . . . , x_n]$
è una compattificazione di $\mathbb{R}^n$ (cioè l’applicazione $j_0$ è un omemorfismo sulla sua immagine $j_0(\mathbb{R}^n)$, $\mathbb{P}^(n)(\mathbb{R})$ è compatto e $j_0(\mathbb{R}^n)$ è denso in $\mathbb{P}^(n)(\mathbb{R})$).

(b) Mostrare che $\mathbb{P}^(n)(\mathbb{R})$ con la topologia quoziente della topologia euclidea è una varietà topologica di dimensione n.

Qualcuno mi sa aiutare su almeno uno dei due punti??

[j18eos]

Indizio: vedi \(\displaystyle\mathbb{P}^n\) come un quoziente di \(\displaystyle\mathbb{S}^n\), la \(\displaystyle n\)-sfera reale.

[fruff]

Mhh non riesco comunque a capire... Per esempio provando a risolvere il punto a), come faccio a dimostrare che $j_0$ è un omeomorfismo sulla sua immagine?

[j18eos]

\(\mathbb{S}^n\) è la compattificazione a un punto di \(\mathbb{R}^n\), è una manifold[\i] di dimensione \(n\); quindi ti può aiutare molto il mio indizio...

Qual è la mappa "banale" \(\mathbb{S}^n\twoheadrightarrow\mathbb{P}^n\)?