Dimostrare che due spazi sono omeomorfi
Ciao,
sto cercando di risolvere degli esercizi che mi richiedono di dimostrare che certe coppie di spazi non sono omeomorfi tra loro ma faccio fatica a trovare un buon metodo.
Per esempio come dimostro che il cilindro e la semisfera seguenti non sono omeomorfi?
\[ A= S^1 \times (-1,1) \]
\[ B=\{(x,y,z)| x^2 +y^2 + z^2 =1, z<0\} \]
sto cercando di risolvere degli esercizi che mi richiedono di dimostrare che certe coppie di spazi non sono omeomorfi tra loro ma faccio fatica a trovare un buon metodo.
Per esempio come dimostro che il cilindro e la semisfera seguenti non sono omeomorfi?
\[ A= S^1 \times (-1,1) \]
\[ B=\{(x,y,z)| x^2 +y^2 + z^2 =1, z<0\} \]
Risposte
Hanno gruppi fondamentali diversi.
Grazie per la risposta, ma non abbiamo fatto i gruppi fondamentali, quindi dovrebbe essere risolvibile in un altro modo. Qualche altra idea?
Grazie in anticipo.
Grazie in anticipo.
Prova a verificare le proprietá o strutture invarianti per omeomorfismo.....connessione, connessione per cammini, compatezza, genere, ecc... se i due spazi sono omeomorfi, allora le proprietà topologiche devono essere le stesse!!
Gli spazi sono tutti e due connessi per archi, non sono compatti (perche' non sono chiusi) e il genere, che e' diverso (e che e' definito mediante la caratteristica di Eulero) non e' poi una semplificazione tanto grande...
In effetti, mentre cercavo di risolvere l'esercizio, avevo già osservato che entrambi sono connessi e non compatti. Quali altri invarianti per omeomorfismo posso provare ad utilizzare?
Prova a dimostrare che \(B\) è omeomorfo ad \(\mathbb{R}^2\) e che \(A\) è omeomorfo ad \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0;0)\}\)!
A quel punto come provi che il piano e il piano bucato non sono omeomorfi? Sono entrambi aperti, connessi, non compatti..
Sperando di non farti cadere le braccia da dosso k_b: la mia idea è quella di dimostrare esplcitamente che: \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0;0)\}\) ha un buco, \(\mathbb{R}^2\) non ha buchi, quindi non potendo essere omotòpi non possono essere omeomorfi.
Non avendo altra soluzione!
EDIT Corretta una svista ben riposta.
Non avendo altra soluzione!
EDIT Corretta una svista ben riposta.
Mi viene questa idea: se non sbaglio, il piano è semplicemente connesso, mentre il piano bucato non lo è. Giusto?
Ora, non avendo visto questo concetto nel corso di topologia, ma in quello di analisi, vi chiedo: il concetto di semplicemente connesso è un invariante per omeomorfismo?
Ora, non avendo visto questo concetto nel corso di topologia, ma in quello di analisi, vi chiedo: il concetto di semplicemente connesso è un invariante per omeomorfismo?
In termini rozzi: hai scritto la stessa cosa che ho scritto io, la semplice connessione nei precedenti esempi equivale alla non esistenza di buchi; ma non ti so dire se la semplice connessione è una proprietà topologica, sicuramente è invariante per omotopìe.
Il fatto che sia un invariante per omotopie siginifica che e' un invariante per equivalenza omotopica, una relazione molto (molto!) piu' blanda dell'omeomorfismo. Mostrare che due spazi hanno gruppi di omotopia diversi mostra che non sono omotopicamente equivalenti, e a fortiori che non sono omeomorfi.
Il concetto di "avere un buco" poi e' omologico, piu' che topologico. E l'omologia e' certo piu' semplice dell'omotopia, nello studio di uno spazio, pero'... tanto vale introdurre strumenti di topologia algebrica a quel punto, no? Anche perche' o usi una omologia di tipo discreto-combinatorio, come l'omologia singolare, oppure una di tipo analitico, come la coomologia di de Rham. Ma il primo mi sembra concettualmente non meno complicato dello studio del primo gruppo di omotopia, e il secondo di converso e' un overkill per un problema cosi' "semplice".
Il concetto di "avere un buco" poi e' omologico, piu' che topologico. E l'omologia e' certo piu' semplice dell'omotopia, nello studio di uno spazio, pero'... tanto vale introdurre strumenti di topologia algebrica a quel punto, no? Anche perche' o usi una omologia di tipo discreto-combinatorio, come l'omologia singolare, oppure una di tipo analitico, come la coomologia di de Rham. Ma il primo mi sembra concettualmente non meno complicato dello studio del primo gruppo di omotopia, e il secondo di converso e' un overkill per un problema cosi' "semplice".
"MatriceHessienne":
Mi viene questa idea: se non sbaglio, il piano è semplicemente connesso, mentre il piano bucato non lo è. Giusto?
Ora, non avendo visto questo concetto nel corso di topologia, ma in quello di analisi, vi chiedo: il concetto di semplicemente connesso è un invariante per omeomorfismo?
Giusto. Secondo me il problema andava risolto così. Tra l'altro puoi anche osservare direttamente che il cilindro non è semplicemente connesso mentre la semisfera si, risolvendo così immediatamente il problema.
@killing_buddha: C'era davvero bisogno di introdurre tutte queste definizioni? Qual è il tuo scopo, contribuire alle discussioni o fare sfoggio della tua cultura enciclopedica?
C'era davvero bisogno di introdurre tutte queste definizioni?
Quali definizioni?
Il fatto che sia un invariante per omotopie siginifica che e' un invariante per equivalenza omotopica, una relazione molto (molto!) piu' blanda dell'omeomorfismo. Mostrare che due spazi hanno gruppi di omotopia diversi mostra che non sono omotopicamente equivalenti, e a fortiori che non sono omeomorfi.
Il concetto di "avere un buco" poi e' omologico, piu' che topologico. E l'omologia e' certo piu' semplice dell'omotopia, nello studio di uno spazio, pero'... tanto vale introdurre strumenti di topologia algebrica a quel punto, no? Anche perche' o usi una omologia di tipo discreto-combinatorio, come l'omologia singolare, oppure una di tipo analitico, come la coomologia di de Rham. Ma il primo mi sembra concettualmente non meno complicato dello studio del primo gruppo di omotopia, e il secondo di converso e' un overkill per un problema cosi' "semplice".
Ho detto qualcosa di sbagliato?
E poi, cosa vuol dire "$X$ e' semplicemente connesso" se non "$\pi_1(X)=1$"?
"killing_buddha":Ricordavo che fosse omotòpico, grazie della correzione.
...Il concetto di "avere un buco" poi e' omologico, piu' che topologico...
OUT OF SELF
Se ho compre quanto ha scritto dissonance, non c'è l'esigenza didattica di risolvere il problema coi gruppi fondamentali o con la coomologia di De Rham, seppur con tali strumenti l'esercizio diventi scemo!
Perfetto, ma allora non capisco come vogliate fare... Dire che uno spazio è semplicemente connesso, e che tale proprietà è invariante per omeomorfismo coinvolge il tipo di omotopia dello spazio, il che equivale ad usare il gruppo fondamentale.. senza dire che lo si sta usando. Questo mi sembra ancora più scorretto da un punto di vista didattico.
@killing_buddha: Questo esercizio era standard, e pensato per una risposta breve e concisa: "siccome uno spazio è semplicemente connesso e l'altro no, essi non possono essere omeomorfi". E, no, non tutti sanno che la semplice connessione è una nozione che riguarda i gruppi fondamentali, nei corsi di base essa viene introdotta assai prima, nel contesto delle forme differenziali e dei campi vettoriali della fisica. Queste cose tu le sai. Allora perché uscirsene con un intervento di questo genere:
Ed è un modo di fare che tu hai. Vogliamo parlare di questo? C'era sul tavolo un problema interessante ma tu invece di contribuire con qualche idea valida ti sei messo a disquisire di cose superflue, non aiutando minimamente la discussione e anzi confondendola e allontanando da essa il pubblico, spaventato dai tuoi inutili paroloni.
(tratto da http://www.jmilne.org/math/tips.html )
Questa cosa è del tutto ridondante in questo esercizio ed è buona solo a spaventare il lettore, se principiante. E' zeppa di paroloni incomprensibili ai più e non aggiunge assolutamente niente al contesto.
Il fatto che sia un invariante per omotopie siginifica che e' un invariante per equivalenza omotopica, una relazione molto (molto!) piu' blanda dell'omeomorfismo. Mostrare che due spazi hanno gruppi di omotopia diversi mostra che non sono omotopicamente equivalenti, e a fortiori che non sono omeomorfi.
Il concetto di "avere un buco" poi e' omologico, piu' che topologico. E l'omologia e' certo piu' semplice dell'omotopia, nello studio di uno spazio, pero'... tanto vale introdurre strumenti di topologia algebrica a quel punto, no? Anche perche' o usi una omologia di tipo discreto-combinatorio, come l'omologia singolare, oppure una di tipo analitico, come la coomologia di de Rham. Ma il primo mi sembra concettualmente non meno complicato dello studio del primo gruppo di omotopia, e il secondo di converso e' un overkill per un problema cosi' "semplice".
Ed è un modo di fare che tu hai. Vogliamo parlare di questo? C'era sul tavolo un problema interessante ma tu invece di contribuire con qualche idea valida ti sei messo a disquisire di cose superflue, non aiutando minimamente la discussione e anzi confondendola e allontanando da essa il pubblico, spaventato dai tuoi inutili paroloni.
Those who know that they are profound strive for clarity. Those who would like to seem profound strive for obscurity.
---Nietzsche.
(tratto da http://www.jmilne.org/math/tips.html )
Grazie mille a tutti, in particolare a dissonance per la risposta chiara e concisa.
Mah..
Ma esiste un modo "elementare", quale che sia il significato del termine, di dimostrare senza far uso di strumenti omotopici che la semplice connessione è un invariante di omeomorfismo? Poi, stiamo parlando di matematica o del modo più veloce di passare un esame? E in terzo luogo, confondi il concetto di chiarezza col concetto di brevità..
"MatriceHessienne":Prego, si fa quel che si può!
Grazie mille a tutti...
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