Compattezza e funzioni continue
Sapreste fornirmi (se esiste) un esempio di spazio topologico \(X\) non compatto tale che \(f(X)\) sia compatto per ogni funzione continua \(f \colon X \to \mathbb{R}\) ?
Risposte
Secondo me questo problema non è banale. Infatti se \(X\) è uno spazio che ammette compattificazione di Alexandroff, come fanno un bel po' di spazi "buoni" a cui siamo abituati, allora non ha la proprietà richiesta. Per mostrare questo prendiamo una funzione continua \(f\colon X\cup\{\infty\}\to \mathbb{R}\) tale che \(f(\infty)=1\) e \(f(x)<1\) per ogni \(x \ne \infty\). La funzione
\[
x\in X \to \frac{1}{1-f(x)}
\]
è continua e la sua immagine \(f(X)\) non è compatta perché non è limitata.
[size=90]edit: qui c'era un errore - avevo scritto che \(f(X)\) non è un chiuso.[/size]
\[
x\in X \to \frac{1}{1-f(x)}
\]
è continua e la sua immagine \(f(X)\) non è compatta perché non è limitata.
[size=90]edit: qui c'era un errore - avevo scritto che \(f(X)\) non è un chiuso.[/size]
"dissonance":Ma perché esistono spazi topologici cattivi non compattificabili alla Alexandroff?
...Infatti se \(X\) è uno spazio che ammette compattificazione di Alexandroff, come fanno un bel po' di spazi "buoni" a cui siamo abituati...
Oppure tu sei abituato a compattificare solo spazi di Hausdorff con altre proprietà che non ricordo, come suggerisce (se non sbaglio libro) il Munkres?
Per quanto riguarda il problema, mi è venuta in mente la compattificazione di Stone-Chech (più o meno si scrive così) che non mai studiato; per un semplice riferimento click!
Infine, per quanto il problema lo trovi allettante, non posso contribuirvi. Buona continuazione.
Ma perché esistono spazi topologici cattivi non compattificabili alla Alexandroff?
Perbacco, certo che esistono, e sono anche tanti. La compattificazione secondo Alexandroff esiste (ovvero e' definita e funtoriale) solo se si trattano spazi che sono localmente compatti, e si prendono come morfismi unicamente le mappe continue e proprie.
Vabbé, se uno vuole compattificare e basta non ci sono richieste extra da fare... dipende dal fine ultimo e dalla definizione adottata!
Ma questo tipo di compattificazioni ci aiutano a costruire controesempi al problema in questione? Voglio dire, la costruzione che proponevo nel post precedente e relativa alla compattificazione di Alexandroff continua a funzionare con queste compattificazioni alternative?
dissonance e Armando: il punto e' che se $X\mapsto X^\star$ e' la compattificazione di Alexandroff la biiezione \[\hom(X^\star,Y)\cong \hom(X,Y)\] per $Y$ compatto vale solo se $X$ e' almeno Hausdorff localmente compatto, e vale solo per mappe proprie; in caso contrario come estendi in modo univoco una $f : X\to Y$ ad una $f^\star : X^\star \to Y$? Se i dominio non e' T2 e' falso che una funzione continua sia caratterizzata da cosa fa su un denso, e $X\rightarrow X^\star$ non e' denso se $X$ non e' LCHaus.
K_b, io non ho mai scritto di quella biezione e né l'ho mai studiata a lezione; scritto ciò sgombro il campo, tanto avevo già premesso che non ho il tempo per dedicarmi al problema.
Scusatemi, a iniziare da Elvis!
Scusatemi, a iniziare da Elvis!
"killing_buddha":
dissonance e Armando: il punto e' che se $X\mapsto X^\star$ e' la compattificazione di Alexandroff la biiezione \[\hom(X^\star,Y)\cong \hom(X,Y)\] per $Y$ compatto vale solo se $X$ e' almeno Hausdorff localmente compatto, e vale solo per mappe proprie; in caso contrario come estendi in modo univoco una $f : X\to Y$ ad una $f^\star : X^\star \to Y$? Se i dominio non e' T2 e' falso che una funzione continua sia caratterizzata da cosa fa su un denso, e $X\rightarrow X^\star$ non e' denso se $X$ non e' LCHaus.
Si vabbé ma il problema è un altro, non andiamo OT.
Il problema è rispondere alla domanda seguente:
"Esistono spazi topologici non compatti $X$ tali che ogni funzione continua \(f\colon X \to \mathbb{R}\) abbia l'immagine compatta?"
La mia congettura è che la risposta sia negativa, ma sono in grado di dimostrarlo solo per spazi che ammettono compattificazione di Alexandroff (vedi sopra), e quindi, per come conosco io le cose, per spazi di Hausdorff e localmente compatti.
Che ne pensi? Hai qualche idea riguardo al caso generale?
Come giustamente puntualizzato da dissonance, esempi non se ne trovano supponendo \(X\) spazio di Hausdorff localmente compatto. In particolare, per spazi con tale proprietà (ad esempio i sottospazi di \(\mathbb{R}^n\)), abbiamo una definizione equivalente di compattezza:
se \(X\) è LCHaus, sono equivalenti
a. \(X\) è compatto;
b. \( f(X) \) è compatto per ogni funzione continua \(f \colon X \to \mathbb{R}\);
c. ogni funzione continua \(f \colon X \to \mathbb{R}\) è limitata.
Tuttavia, nel caso generale, esempi ce ne sono. Ne ho trovato uno in una discussione su mathoverflow che vi riporto.
Consideriamo lo spazio \(X = \mathbb{R} \cup \{\ast\}\), in cui gli aperti non vuoti sono della forma \(A \cup \{\ast\}\), con \(A\) aperto in \(\mathbb{R}\). Bene, \(X\) non è compatto e ogni funzione continua \(f \colon X \to \mathbb{R}\) è costante.
se \(X\) è LCHaus, sono equivalenti
a. \(X\) è compatto;
b. \( f(X) \) è compatto per ogni funzione continua \(f \colon X \to \mathbb{R}\);
c. ogni funzione continua \(f \colon X \to \mathbb{R}\) è limitata.
Tuttavia, nel caso generale, esempi ce ne sono. Ne ho trovato uno in una discussione su mathoverflow che vi riporto.
Consideriamo lo spazio \(X = \mathbb{R} \cup \{\ast\}\), in cui gli aperti non vuoti sono della forma \(A \cup \{\ast\}\), con \(A\) aperto in \(\mathbb{R}\). Bene, \(X\) non è compatto e ogni funzione continua \(f \colon X \to \mathbb{R}\) è costante.
Che bello questo controesempio! Mai mi sarebbe venuto in mente. Ogni funzione continua deve essere costante perché deve aversi \(f(\star)=f(x)\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).
Grazie
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