Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti, ho un dubbio sulla definizione di topologia indotta da una metrica.
Sul Sernesi c'è scritto che la topologia indotta da una metrica si ottiene prendendo come insiemi aperti tutti quelli che si scrivono come unione di dischi aperti con in più l'insieme vuoto (con disco aperto si intende un insieme del tipo \( D_r (x) = \lbrace y \in X : d(x,y) < r \rbrace \)).
Qui invece (pagina 3, definizione 1.3) la topologia indotta dalla metrica è quella che prende insiemi i cui ...
ciao a tutti, volevo solo conferma
consideriamo la topologia dell'ordine su \(\displaystyle \bar{\mathbb R} \)
una sottobase è data da
\(\displaystyle S:=(a,+\infty]\cup [-\infty,b) \) con \(\displaystyle a,b \in \mathbb R \)
per cui gli aperti (non banali) sono insiemi del tipo
\(\displaystyle A_1:=(a,+\infty], A_2:= [-\infty,b), A_3:=(a,b) \)
pertanto pure
\(\displaystyle (a,+\infty)=\bigcup_{n \in \mathbb N} (a,n)\)
è un aperto
corretto?
Buongiorno a tutti.
Sul programma di Geometria e Algebra (6 CFU) ho trovato, tra i primissimi argomenti (nel capitolo "introduzione", appunto), questa voce:
Sistemi di elementi in un insieme.
Qualcuno saprebbe dirmi esattamente di che si tratta? Ha qualcosa a che fare con i "Gruppi", o magari con i "Sistemi di equazioni lineari"?
Sto studiando dal libro di Lomonaco, e purtroppo programma ed indice non corrispondono in nessuna voce, e non ho ancora chiara la materia, per cui non riesco ...
Ciao a tutti di nuovo,
L'esercizio stavolta dice: Nelle seguenti verificare se esiste una trasformazione lineare $ f : R^2 ---> R^3 $
che soddisfi le condizioni indicate: se esiste determinarla.
l'esercizio ha poi 4 casi diversi, il discorso è che in uno la trasformazione la ''vedo'' senza calcolare e quindi la scrivo, in altri invece non so da dove partire:
$ (a) f(0; 0) = (1; 0; 0), f(0; 1) = (0; 0; 0) $
$ (b) f(1; 0) = (1; 2;-1); f(0; 1) = (0; 1; 0) $
Il secondo vedo subito che è $ f:R^2--->R^3 : (x,y)---> (x,2x+y,-x) $
pero non so fare i passaggi che servono per ...
1. Sia A una matrice quadrata di ordine 3. dimostrare che per gni c appartenente a R, il det (cA) = c3(alla terza) detA
2. Sia A una matrice quadrata invertibile. Dimostrare che l'inversa di A è ancora invertibile e l'inversa di A alla -1 = A
Suggerimento: Supporre per assurdo che esista una matrice W ≠ A inversa di A-1.
Ciao,
L'esercizio chiede di determinare una base e la dimensione del sottospazio generato da i vettori dati:
Esempio $ (1,3,0) (-1,1,0) in R^3 $
Quindi io aggiungo $ (0,0,1) $ vettore della base canonica di $ R^3 $ e controllo la lineare indipendenza.
mi viene lineare indipendente, base trovata. (giusto?)
Ora cosa vuol dire determina la dimensione del sottospazio? Non è 3 perche siamo in $ R^3 $
Grazie!
Salve a tutti,
sto studiando Fisica Matematica e non riesco in alcun modo a capire la dimostrazione del th delle funzioni implicite che utilizza il differenziale di una funzione. Avrei bisogno se possibile di capire vari passaggi..
TEOREMA
Sia $f = (f_1, f_2,..., f_k) : M sub \epsilon \rightarrow RR^k : p \rightarrow f(p) = (f_1(p), ..., f_k(p)) ($ con $k<m$) una funzione differenziabile definita su un sottoinsieme aperto$ M $di $\epsilon$, con differenziale suriettivo $d_(p_0)f: E \rightarrow RR^k$ in ogni punto $ p_0 $ di $Q := f^(-1)(0) = { p in M | f(p) = 0 } $.
...
Devo trovare una matrice unitaria $U$ tale che
\[\frac{1}{\sqrt 2}\left [
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\right]=U
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Non ci sono troppe condizioni da imporre?
Trovo che la matrice deve essere
\[U=\frac{1}{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1 & a & b & c \\
0 & d & e & f \\
0 & g & h & i \\
1 & l & m & n
\end{pmatrix}
\]
e imponendo la condizione di unitarietà trovo una ...
Buongiorno a tutti, studiando per un esame mi è venuto sotto mano da risolvere questo sistema di 4 equazioni in 4 incognite:
$ { ( 2p_11+2p_12+2p_21=1 ),( 2p_11-2p_12-2p_22=0 ),( -2p_21-2p_22+2p_11=0 ),( -2p_21+2p_22-2p_12=1 ):} $
Qualcuno saprebbe spiegarmi come risolverlo utilizzando il metodo di riduzione? Perchè ho provato con il metodo di Cramer, ma vengono conti troppo lunghi e la possibilità di errore sale esponenzialmente. Il metodo di sostituzione l'ho scartato a priori, mentre quello del confronto è troppo "incasinato". Apprendo dai testi di cui dispongo che il ...
Salve a tutti. Sapete aiutarmi a dimostrare questa uguaglianza?
$\bar{X-Y}=X-Y^°$ (interno di Y)
Le mie definizioni sono queste:
- L'interno di Y è l'unione degli aperti contenuti in Y (il più grande aperto quindi)
-La chiusura di Y è l'intersezione dei soprainsiemi chiusi di Y (il più piccolo chiuso contenente Y)
-Lemma: $x in \bar{Y} hArr AA U$ intorno di x,$ U nn Y !=0$
Mi servirebbe qualcosa che lega l'interno con la frontiera per dimostrarlo..ma tra le definizioni e i lemma fatti a lezione ...
Ciao a tutti, rieccomi con un ennesimo problema di cui ho bisogno di una vostra spiegazione.
Premetto che ho cercato già sul sito ed in rete ma non ho trovato spiegazioni esaustive.
Premetto anche che il mio professore riguardo i coni è stato molto sintetico, omettendo negli esempi qualsiasi passaggio risolutivo.
Allora, devo determinare l'equaz. del cono con vertice V(1,2,3) e direttrice l'ellisse del piano xy di equaz. $x^2+3y^2-4=0$
come risoluzione da solo l'equaz. trovata ...
Ciao a tutti ragazzi, non riesco a capire una cosa.
Ad esempio data una matrice mi calcolo gli autovalori,
ho capito che quando un autovalore "h" ha molteplicità geometrica ad esempio 2 e molteplicità algebrica 2
significa che ci sono 2 blocchi relativi all'autovalore h e ogni blocco ha ordine 1 necessariamente in questo caso.
Non capisco però nel caso in cui io avessi un autovalore con molteplicità geometrica 2 quindi 2 blocchi, e molteplicità algebrica 3, ciò significa che questi 2 blocchi ...
Salve ragazzi, ho questa matrice:
$((1,-1,-2,1),(-1,3,1,-2),(2,-10,9,20),(-1,-10,20,24))$
devo calcolare l'inversa, ho provato con l'identica ma non ci riesco, come potrei fare?
Ho un'applicazione lineare da $ R[x]_d $ in $R[x]_(d-1)$ così definita:
$F(p(x)) = p(x)-p(x-1)$.
Devo dimostrare che è suriettiva.
Sarà suriettiva se risulterà che dim ImF = dim $K[x]_(d-1)$ = d. Per determinare dim ImF, cerco dim kerF. Ma finisco in calcoli che non riesco a svolgere.
I polinomi del nucleo sono quelli per i quali si ha $ p(x) = p(x-1)$
Scrivendo "per esteso" i polinomi ai due membri:
$p_0+p_1x+...+p_n x^n = p_0 + .... + p_i (x-1)^i+ ...... $
$p_0+p_1x+...+p_n x^n = p_0 + .... + p_i ( (i), (j) ) x^(i-j)(-1)^j + ...... $
Non so però procedere oltre, o forse ...
Io so che in uno spazio topologico [tex]$T_1$[/tex] e primo numerabile, per ogni punto di accumulazione di una successione, esiste una sottosuccessione convergente a quel punto.
Leggo da wiki: "In uno spazio T1 e primo numerabile, i punti di accumulazione di una successione sono limiti di qualche sottosuccessione; in particolare, in uno spazio compatto ogni successione ha una sottosuccessione convergente, e come caso particolare si ha il teorema di Bolzano-Weierstrass."
Perché? Io ...
Ciao a tutti ! Ho dei dubbi riguardo al procedimento che serve a determinare una forma canonica della forma quadratica.
L'esercizio dice
Data una forma \( \phi = x^2+y^2+2z^2-4xy+2xz-2yz \) ridurla a forma canonica con una trasformazione ortogonale.
Ho trovato la matrice della forma che risulta essere
\( \begin{Vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{Vmatrix} \)
Ora ho calcolato il polinomio caratteristico della matrice \( p(\lambda)= ...
Salve ragazzi avrei bisogno di un po' di aiuto per dei sistemi lineari:
1) $\{(x + ky - 2z = 2),(x - (1-k)y - 3z = 2),(2x + (2k+2)y + (3k+7)z = 1+k^2),(x + (k+1)y + (2k+3)z = k^2-3):}$
qua mi chiede di determinare per quale valore di $k$ il sistema è crameriano... dovrei considerare la matrice completa e ridurla?
2) $\{(x + ky + z = 8 - k^2),(-x - 2ky - z = 10 - 2k),(x + z = 4 - k^2 + k),(-x - ky - z = 2k^2-12):}$
qua mi chiede per quale valore di $k$ il sistema ammette uno spazio delle soluzioni di dimensione uno... sinceramente non so che significa e come procedere
3) $\{((k+3)x + y = k + 4),(-x +(k+1)y = k),((2+k)x + y + z = k + 4):}$
qua la stessa cosa del 2, l'ho scritto perchè ...
Ciao a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sul prodotto scalare.
Si dice che il prodotto scalare è un "prodotto interno"; ma se associa a due vettori di $R^n$ uno scalare, lo scalare che ottengo non appartiene allo spazio vettoriale $R^n$. Non si tratta quindi di un "prodotto esterno" ?
In altre parole non è una legge di composizione interna e quindi perchè si dice che è un "prodotto interno" ?
grazie 1000 a tutti
Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere quest'esercizio.
Data l'equazione differenziale $x''(t)=1x'(t)+(-0,41)x(t)$ si chiede di determinarne la soluzione generale reale
Si chiede di determinarne le costanti c1 e c2 in modo che essa soddisfi le condizioni iniziali $x(0)= -1 x'(0)= -1,6$
Riesco a trovare la formula risolutiva agevolmente, risolvendo l'equazione differenziale e inserendo la parte di soluzione reale e quella immaginaria nella formula risolutiva ...
Salve a tutti ragazzi, avrei una domanda per quanto riguarda la risoluzione dei sistemi lineari $(n-1 x n)$ con rango = n-1. Come si risolvono? Nel mio libro di esercizi, li risolve in maniera molto semplice a vedere, ma quasi incapibile. Secondo, ragazzi, magari sarà una domanda stupidissima, ma come mai il teorema di Rouchè-Capelli è così utile nella risoluzione dei sistemi lineari? Come si utilizza?
Grazie 1000 per i vostri interventi
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