Th delle funzioni implicite
Salve a tutti,
sto studiando Fisica Matematica e non riesco in alcun modo a capire la dimostrazione del th delle funzioni implicite che utilizza il differenziale di una funzione. Avrei bisogno se possibile di capire vari passaggi..
TEOREMA
Sia $f = (f_1, f_2,..., f_k) : M sub \epsilon \rightarrow RR^k : p \rightarrow f(p) = (f_1(p), ..., f_k(p)) ($ con $k
$Q$ è una varietà liscia di $\epsilon$ con $dimQ = m - k$.
Inoltre $TQ = uuu ({p}$ x $ Ker(d_(p)f))$.
DIMOSTRAZIONE
Posto n:= m - k (DOMANDA 1 : n, m e k sono indici qualunque?)
Il th afferma che per ogni $p_o in Q$, il fatto che il differenziale sia suriettivo implica:
a) l'esistenza di un aperto $U in T_Q$ di $p_0$,
b) un sottoinsieme aperto connesso X di $RR^n$ e una k-tupla di funzioni a valori reali $\phi^i: X\rightarrow RR $ ( i = 1,...,k) tali che :
$U=Im\xi$
con $\xi : X sub RR^n \rightarrow \epsilon$ carta n-dimensionale su $Q$. ( DOMANDA 2: da dove è uscita la k-tupla e perchè la suriettività del differenziale va intesa in tal senso? Esiste una definizione di differenziale suriettivo simile a questa e che sul mio libro non c'è?)
Si fa notare che $\xi$ si può comporre con $f$ e $f°g = 0$ da cui:
$d_(p_0)f ° d_(q_0)\xi = d_(q_0)(f °\xi) = 0$ cioè
$ Im (d_(q_0)\xi) sub Ker(d_(p_0)f)$.
Per di più stando all'ipotesi $Im(d_(p_0)f) = RR^k$,
$ dimKer(d_(p_0)f) = dimE - dim(d_(p_0)f) = m - k = n = dim(Im (d_(q_0)(\xi)) = dim T_p_0(Q) $
Pertanto per ogni $p_0$ otteniamo $T_(p_0)(Q) = Kerd_(p_0)(f)$
sto studiando Fisica Matematica e non riesco in alcun modo a capire la dimostrazione del th delle funzioni implicite che utilizza il differenziale di una funzione. Avrei bisogno se possibile di capire vari passaggi..
TEOREMA
Sia $f = (f_1, f_2,..., f_k) : M sub \epsilon \rightarrow RR^k : p \rightarrow f(p) = (f_1(p), ..., f_k(p)) ($ con $k
$Q$ è una varietà liscia di $\epsilon$ con $dimQ = m - k$.
Inoltre $TQ = uuu ({p}$ x $ Ker(d_(p)f))$.
DIMOSTRAZIONE
Posto n:= m - k (DOMANDA 1 : n, m e k sono indici qualunque?)
Il th afferma che per ogni $p_o in Q$, il fatto che il differenziale sia suriettivo implica:
a) l'esistenza di un aperto $U in T_Q$ di $p_0$,
b) un sottoinsieme aperto connesso X di $RR^n$ e una k-tupla di funzioni a valori reali $\phi^i: X\rightarrow RR $ ( i = 1,...,k) tali che :
$U=Im\xi$
con $\xi : X sub RR^n \rightarrow \epsilon$ carta n-dimensionale su $Q$. ( DOMANDA 2: da dove è uscita la k-tupla e perchè la suriettività del differenziale va intesa in tal senso? Esiste una definizione di differenziale suriettivo simile a questa e che sul mio libro non c'è?)
Si fa notare che $\xi$ si può comporre con $f$ e $f°g = 0$ da cui:
$d_(p_0)f ° d_(q_0)\xi = d_(q_0)(f °\xi) = 0$ cioè
$ Im (d_(q_0)\xi) sub Ker(d_(p_0)f)$.
Per di più stando all'ipotesi $Im(d_(p_0)f) = RR^k$,
$ dimKer(d_(p_0)f) = dimE - dim(d_(p_0)f) = m - k = n = dim(Im (d_(q_0)(\xi)) = dim T_p_0(Q) $
Pertanto per ogni $p_0$ otteniamo $T_(p_0)(Q) = Kerd_(p_0)(f)$
Risposte
\(m\) è la dimensione della varietà, \(k\) deve essere minore di \(m\) e \(n = m - k\). Cosa intendi per qualunque?
Comunque la dimostrazione e persino il testo del teorema è scritta davvero male (tra l'altro mi lascia molto perplesso l'uso di una lettera greca minuscola per indicare una varietà). Più tardi cerco una dimostrazione scritta meglio.
Comunque la dimostrazione e persino il testo del teorema è scritta davvero male (tra l'altro mi lascia molto perplesso l'uso di una lettera greca minuscola per indicare una varietà). Più tardi cerco una dimostrazione scritta meglio.
ciao, effettivamente la lettera greca epsilon è in maiuscolo ma non ho saputo scriverla...per il resto il libro è scritto in inglese...tradotto così non riesco nemmeno a capire se "Q varietà liscia" faccia parte dell'ipotesi o della tesi. Per quanto riguarda gli indici non avevo capito a cosa si riferissero. Infine quello che non riesco proprio a spiegarmi è il motivo per cui la suriettività del differenziale implica i punti a) e b). Sul libro questi punti si riferiscono alle proprietà della varietà Q che mi fanno pensare che io debba dimostrarlo ma come si fa ad arrivarci?
La \(\epsilon\) maiuscola in greco è la ‘E’, e l'unicode non fornisce alcun carattere aggiuntivo. Probabilmente era una ‘E’ maiuscola corsiva (\(\mathscr{E}\) oppure \(\mathcal{E}\) ).
Trovo difficile seguire il testo come l'hai scritto tu, potresti scrivere la versione originale in inglese della prima parte della dimostrazione (e far riferimento al libro).
Comunque il simbolo di composizione è \circ \(\circ\).
Comunque il simbolo di composizione è \circ \(\circ\).
DIMOSTRAZIONE
PUT n:= m - k
THE ABOVE MENTIONED THEOREM OF ANALYISIS STATES THAT, FOR ANY $p_o in Q$, THE FACT OF $d_p_0(f)$ BEING SURJECTIV IMPLIES THE EXISTENCE OF AN OPEN NEIHBOURHOOD $U in T_Q$ OF $p_0$,
A CONNECTED OPEN SUBSET X OF $RR^n$ AND A k-tuplE OF REAL VALUED FUNCTION $\phi^i: X\rightarrow RR $ ( i = 1,...,k) S.T.
$U=Im\xi$ WHERE $\xi : X sub RR^n \rightarrow \epsilon$ IS AN n-dimensional CHART ON $Q$ ( WITH A SUITABLE CHOICE OF A CARTESIAN SISTEM $\varphi : RR^m \rightarrow \epsilon $ (epsilon maiusc) BY $(x^1,..,x^n) \rightarrow p = \varphi(x^1,..,x^n,x^(n+1),..,x^(n+k))$ with $x^(n+1)= \phi^1(x^1,..,x^n),...,x^(n+k) =\phi^k(x^1,..,x^n).$
THAT PROVES OUR FIRST CLAIM.
Si fa notare che $\xi$ si può comporre con $f$ e $f\circ g = 0$ .....ecc..
PUT n:= m - k
THE ABOVE MENTIONED THEOREM OF ANALYISIS STATES THAT, FOR ANY $p_o in Q$, THE FACT OF $d_p_0(f)$ BEING SURJECTIV IMPLIES THE EXISTENCE OF AN OPEN NEIHBOURHOOD $U in T_Q$ OF $p_0$,
A CONNECTED OPEN SUBSET X OF $RR^n$ AND A k-tuplE OF REAL VALUED FUNCTION $\phi^i: X\rightarrow RR $ ( i = 1,...,k) S.T.
$U=Im\xi$ WHERE $\xi : X sub RR^n \rightarrow \epsilon$ IS AN n-dimensional CHART ON $Q$ ( WITH A SUITABLE CHOICE OF A CARTESIAN SISTEM $\varphi : RR^m \rightarrow \epsilon $ (epsilon maiusc) BY $(x^1,..,x^n) \rightarrow p = \varphi(x^1,..,x^n,x^(n+1),..,x^(n+k))$ with $x^(n+1)= \phi^1(x^1,..,x^n),...,x^(n+k) =\phi^k(x^1,..,x^n).$
THAT PROVES OUR FIRST CLAIM.
Si fa notare che $\xi$ si può comporre con $f$ e $f\circ g = 0$ .....ecc..
Sta usando il teorema di analisi, non sta dimostrando nulla. Cioè in pratica prendi la normale carta coordinata e la componi con \(f\) e il teorema delle funzioni implicite (in \(\mathbf{R}^{m}\)) ti dice che esiste \(X\) tale che...
E invece si...dopo aver enunciato il teorema scrive :" PROOF : put n= m - k ....ecc" e infine mette un bel quadratino a fine dimostrazione. E pure se fosse come hai detto tu, scusa l'insistenza, non riesco a spiegarmi perchè la suriettività del differenziale implica i punti a seguire..
Potresti dire il nome del testo che stai seguendo? Grazie 
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