Topologia dell'ordine su $bar{bbbR}$
ciao a tutti, volevo solo conferma
consideriamo la topologia dell'ordine su \(\displaystyle \bar{\mathbb R} \)
una sottobase è data da
\(\displaystyle S:=(a,+\infty]\cup [-\infty,b) \) con \(\displaystyle a,b \in \mathbb R \)
per cui gli aperti (non banali) sono insiemi del tipo
\(\displaystyle A_1:=(a,+\infty], A_2:= [-\infty,b), A_3:=(a,b) \)
pertanto pure
\(\displaystyle (a,+\infty)=\bigcup_{n \in \mathbb N} (a,n)\)
è un aperto
corretto?
consideriamo la topologia dell'ordine su \(\displaystyle \bar{\mathbb R} \)
una sottobase è data da
\(\displaystyle S:=(a,+\infty]\cup [-\infty,b) \) con \(\displaystyle a,b \in \mathbb R \)
per cui gli aperti (non banali) sono insiemi del tipo
\(\displaystyle A_1:=(a,+\infty], A_2:= [-\infty,b), A_3:=(a,b) \)
pertanto pure
\(\displaystyle (a,+\infty)=\bigcup_{n \in \mathbb N} (a,n)\)
è un aperto
corretto?
Risposte
A parte che \(\displaystyle A_1\) ed \(\displaystyle A_2\) non ha senso chiamarli aperti non banali; come ottieni che \(\displaystyle A_3\) è aperto? A me non risulta che sia aperto!
scusa ma allora proprio non ho capito! comunque ti ringrazio per aver risposto
io ho pensato
$S$ è una sottobase, per cui la famiglia di tutte le intersezioni finite di elementi di $S$ costituisce una base. tali intersezioni sono del tipo
$(a,+infty]$ e $[-infty,b)$ (intersezioni di un solo elemento di $S$)
$emptyset=[-infty,b) nn (a,+infty]$ quando $b<=a$
$(a,b)=[-infty,b) nn (a,+infty]$ quando $a
quindi una base è data da
$B={emptyset, [-infty,b), (a,+infty],(a,b) : a,b in bbbR}$
gli aperti sono quindi tutti quegli insiemi date da unioni (anche infinite) di elementi di $B$
per aperti banali intendo $emptyset in B$ e $bar{bbbR}= bigcup_{n in bbbN} (-n,n) in B$ (perchè unione di elementi di $B$)
analogamente $(a,+infty)= bigcup_{n in bbbN} (a,n) in B$ (perchè unione di elementi di $B$)
io ho pensato
$S$ è una sottobase, per cui la famiglia di tutte le intersezioni finite di elementi di $S$ costituisce una base. tali intersezioni sono del tipo
$(a,+infty]$ e $[-infty,b)$ (intersezioni di un solo elemento di $S$)
$emptyset=[-infty,b) nn (a,+infty]$ quando $b<=a$
$(a,b)=[-infty,b) nn (a,+infty]$ quando $a
quindi una base è data da
$B={emptyset, [-infty,b), (a,+infty],(a,b) : a,b in bbbR}$
gli aperti sono quindi tutti quegli insiemi date da unioni (anche infinite) di elementi di $B$
per aperti banali intendo $emptyset in B$ e $bar{bbbR}= bigcup_{n in bbbN} (-n,n) in B$ (perchè unione di elementi di $B$)
analogamente $(a,+infty)= bigcup_{n in bbbN} (a,n) in B$ (perchè unione di elementi di $B$)
Io vedo solo unioni e nessuna intersezione : )
perdonami, in testa penso una cosa e sulla tastiera digito un'altra. ho corretto
"marco.bre":Quale? : )
...$ (a,+infty] $ e $ [-infty,b) $ (intersezioni di un solo elemento di $ S $)...
$S={[a,+infty),[-infty,b): a,b in bbbR}$
$hat{a},hat{b} in bbbR$
$[hat{a},+infty)=S nn [hat{a},+infty)$
$[-infty,hat{b}]=S nn [-infty,hat{b})$ no?
$hat{a},hat{b} in bbbR$
$[hat{a},+infty)=S nn [hat{a},+infty)$
$[-infty,hat{b}]=S nn [-infty,hat{b})$ no?
Se la sottobase \(\displaystyle\mathcal{S}\) è quest'ultima hai ragione, ma se invece è quella che tu hai indicata all'inizio allora sbagli...
cavoli devi proprio scusarmi! non mi ero accorto di aver definito la sottobase in modo sbagliato all'inizio, questo ha dato origine al fraintendimento. Allora tutto chiaro, grazie! 
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