Sottosuccessioni convergenti
Io so che in uno spazio topologico [tex]$T_1$[/tex] e primo numerabile, per ogni punto di accumulazione di una successione, esiste una sottosuccessione convergente a quel punto.
Leggo da wiki: "In uno spazio T1 e primo numerabile, i punti di accumulazione di una successione sono limiti di qualche sottosuccessione; in particolare, in uno spazio compatto ogni successione ha una sottosuccessione convergente, e come caso particolare si ha il teorema di Bolzano-Weierstrass."
Perché? Io so che ogni sottoinsieme infinito di un compatto ha almeno un punto di accumulazione, ma chi mi assicura che una successione sia infinita? (Identificando la successione con l'immagine di un'applicazione [tex]$\mathbb{N} \to X$[/tex]). Ma aldilà di questo (tanto comunque so già da una discussione in un altro topic che se [tex]$X$[/tex] è primo numerabile e compatto allora è anche compatto per successioni), vorrei capire qual è il nesso con Bolzano-Weierstrass. Mi verrebbe da dire che se una successione è limitata in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (con metrica standard), allora essa è contenuta in un compatto. Sbaglio? Se è così allora si può dire la stessa cosa in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex].
Leggo da wiki: "In uno spazio T1 e primo numerabile, i punti di accumulazione di una successione sono limiti di qualche sottosuccessione; in particolare, in uno spazio compatto ogni successione ha una sottosuccessione convergente, e come caso particolare si ha il teorema di Bolzano-Weierstrass."
Perché? Io so che ogni sottoinsieme infinito di un compatto ha almeno un punto di accumulazione, ma chi mi assicura che una successione sia infinita? (Identificando la successione con l'immagine di un'applicazione [tex]$\mathbb{N} \to X$[/tex]). Ma aldilà di questo (tanto comunque so già da una discussione in un altro topic che se [tex]$X$[/tex] è primo numerabile e compatto allora è anche compatto per successioni), vorrei capire qual è il nesso con Bolzano-Weierstrass. Mi verrebbe da dire che se una successione è limitata in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (con metrica standard), allora essa è contenuta in un compatto. Sbaglio? Se è così allora si può dire la stessa cosa in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex].
Risposte
Penso che implicitamente considera uno spazio topologico [tex]$\mathrm{T}_1$[/tex], [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] e compatto da cui il seguito!
Non ho capito bene, comunque, il tuo dubbio su Bolzano-Weierstrass; teorema valido solo in [tex]$(\mathbb{R}^n;\mathcal{T}_{\mathrm{nat}})$[/tex].
"Antimius":Questo è un ragionamento che si fa in quattro battute!
...se [tex]$X$[/tex] è primo numerabile e compatto allora è anche compatto per successioni...
Non ho capito bene, comunque, il tuo dubbio su Bolzano-Weierstrass; teorema valido solo in [tex]$(\mathbb{R}^n;\mathcal{T}_{\mathrm{nat}})$[/tex].
Il teorema di Bolzano-Weierstrass io l'ho dimostrato su [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e poi l'ho portato su [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] considerando le sottosuccessioni delle singole componenti. E questo è un modo di dimostrarlo, diciamo, partendo da un caso particolare e generalizzandolo.
Ora stavo tentando di fare il contrario, cioè partendo da una proposizione più generale e dimostrare il teorema come corollario.
Io so che se [tex]$X$[/tex] è primo numerabile e compatto è anche compatto per successioni. (1)
Cerco di dimostrare quanto segue: sia [tex]$x_n$[/tex] una successione limitata di [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] (in particolare [tex]$\mathbb{R}$[/tex]), allora essa ammette una sottosuccessione convergente.
Dim: [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] è uno spazio metrico e quindi primo numerabile.
Data una successione limitata, si ha che esiste una sfera di centro e raggio opportuno che contiene [tex]$\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$[/tex]. Perciò la successione è contenuta in un compatto (per il Teorema di Heine-Borel, basta prendere la chiusura della sfera). Allora essa ammette una sottosuccessione convergente per la proprietà (1).
Ti sembra corretto?
Ps.: grazie, oggi mi stai aiutando ovunque
Ora stavo tentando di fare il contrario, cioè partendo da una proposizione più generale e dimostrare il teorema come corollario.
Io so che se [tex]$X$[/tex] è primo numerabile e compatto è anche compatto per successioni. (1)
Cerco di dimostrare quanto segue: sia [tex]$x_n$[/tex] una successione limitata di [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] (in particolare [tex]$\mathbb{R}$[/tex]), allora essa ammette una sottosuccessione convergente.
Dim: [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] è uno spazio metrico e quindi primo numerabile.
Data una successione limitata, si ha che esiste una sfera di centro e raggio opportuno che contiene [tex]$\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$[/tex]. Perciò la successione è contenuta in un compatto (per il Teorema di Heine-Borel, basta prendere la chiusura della sfera). Allora essa ammette una sottosuccessione convergente per la proprietà (1).
Ti sembra corretto?
Ps.: grazie, oggi mi stai aiutando ovunque
Nulla da ridire!
P.S.: Ultimamente compatti e successioni sono le mie manie.
P.S.: Ultimamente compatti e successioni sono le mie manie.
"Antimius":Si, certo, però non è detto proprio bene. Perché così sembra che il teorema di Bolzano Weierstrass sia una roba valida negli spazi a basi numerabili di intorni, il che è falso. La proprietà topologica di $RR^n$ da cui scaturisce Bolzano-Weierstrass è la compattezza locale: ogni punto di $RR^n$ ha almeno un intorno compatto. Questa è la proprietà topologica "giusta" a cui associare il teorema di BW. E infatti è interessante studiare la classe degli spazi di Hausdorff localmente compatti (LCH), perché hanno parecchie proprietà in comune con $RR^n$ pur essendo "solo" spazi topologici.
Dim: [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] è uno spazio metrico e quindi primo numerabile.
[...](per il Teorema di Heine-Borel, basta prendere la chiusura della sfera)
Quanto alla proprietà $N1$, io sono in disaccordo con Armando (come al solito!
) sul darle tanta considerazione. E' una technicality che serve a poco, gli spazi $N1$ di interesse sono tutti metrizzabili. Certo, il geometra più perverso non sarà d'accordo e confuterà questa affermazione con numerosi, machiavellici esempi di spazi $N1$ non metrizzabili, ma per quel poco che ho visto io, in pratica questi esempi non emergono. Più in generale le successioni funzionano "bene" con la topologia solo negli spazi metrizzabili, negli spazi più generali occorre arrangiarsi oppure usare strumenti più sopraffini (reti di Moore-Smith o filtri di Cartan-Bourbaki). E qui Armando, che dei geometri perversi è il re (
), potrebbe insorgere con tutte le forze: naturalmente ha ragione, si possono descrivere in termini di successioni anche spazi topologici più generali degli spazi metrizzabili, ma all'atto pratico vale la regola che dicevo sopra.
"dissonance":Non mi risulta di averle data tanta considerazione
...Quanto alla proprietà $N1$, io sono in disaccordo con Armando (come al solito!
in questo thread "dissonance":Nulla da ridire.
...Più in generale le successioni funzionano "bene" con la topologia solo negli spazi metrizzabili, negli spazi più generali occorre arrangiarsi oppure usare strumenti più sopraffini (reti di Moore-Smith o filtri di Cartan-Bourbaki)...
"dissonance":Qui hai ragione, infatti, mi trovo a mio agio a studiare le successioni in spazi [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] possibilmente di Hausdorff, ma questa è tutta un'altra storia che rimando ad una stagione più fresca! Mi limito a spiegare che il conoscere una topologia [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] su un insieme equivale a conoscere tutte le successioni convergenti in esso con le relative classi limite.
...E qui Armando, che dei geometri perversi è il re (
Nelle applicazioni di routine ci si limita agli spazi metrici; non mi piace parlare di atto pratico; ho l'impressione che così si butti il resto, seppur perverso.
OUT OF SELF Grazie per il complimento!
"j18eos":Giusta osservazione.
[...]di routine[...] non mi piace parlare di atto pratico[...]
@Dissonance: ho specificato l'essere primo numerabile perché questo implica che un compatto sia compatto per successioni; però effettivamente essendo in uno spazio metrico non era neanche necessario farlo, vista l'equivalenza tra le due nozioni di compattezza.
Non credevo potessero nascere dubbi riguardo all'essere in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] piuttosto che in un generico [tex]$N_1$[/tex] perché avevo citato il Teorema di Heine-Borel che vale in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex]; ma se avessi specificato la compattezza locale, sarebbe stato certamente meno equivoco; non ci avevo proprio pensato sinceramente a questa proprietà, anzi l'ho usata senza riconoscerla. Thx!
Non credevo potessero nascere dubbi riguardo all'essere in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] piuttosto che in un generico [tex]$N_1$[/tex] perché avevo citato il Teorema di Heine-Borel che vale in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex]; ma se avessi specificato la compattezza locale, sarebbe stato certamente meno equivoco; non ci avevo proprio pensato sinceramente a questa proprietà, anzi l'ho usata senza riconoscerla.
Thx!
@Antimius Rileggendo a mente fresca l'intervento di dissonance l'ho capito; tu hai subito sottolineato che sei in uno spazio [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] eppoi hai proceduto con la dimostrazione. Per spiegartelo con una metafora, pensa ad Homer Simpson quando dovette scalare il monte Periglioso: iniziò da subito ad utilizzare le bombole di ossigeno, poi procedette con gli sharpa nepalesi ed infine da solo!
Prima saresti dovuto arrivare alla conclusione che una successione limitata in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] è in una sfera chiusa, poi che la sfera chiusa è compatta ed infine che in essa si può usufruire del primo assioma di numerabilità.
Prima saresti dovuto arrivare alla conclusione che una successione limitata in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] è in una sfera chiusa, poi che la sfera chiusa è compatta ed infine che in essa si può usufruire del primo assioma di numerabilità.
Ahah, la metafora è perfetta
Sì, hai ragione, ho anticipato troppo i tempi, sapendo già dove volevo arrivare
Sì, hai ragione, ho anticipato troppo i tempi, sapendo già dove volevo arrivare
"Antimius":
Il teorema di Bolzano-Weierstrass io l'ho dimostrato su [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e poi l'ho portato su [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] considerando le sottosuccessioni delle singole componenti. E
ciao, puoi dirmi come l'hai fatto a dimostrare cosi??? grazie !
Si utilizza la proprietà universale del prodotto topologico!
ovvero?
Una funzione tra spazi topologici \(\displaystyle f:X\to Y\times Z\) (con la topologia prodotto sul codominio) è continua se e solo se \(\displaystyle\pi_Y\circ f\) e \(\displaystyle\pi_Z\circ f\) sono funzioni continue!
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