Dimostrazione ortogonalità tangente punto di distanza minima

[delca85]

Ciao ragazzi, devo dimostrare questo fatto:
Sia $X$ uno spazio Euclideo e sia $f: \RR \rarr X$ una curva derivabile che non passa per il punto $x_0 \in X$. Dimostrare che, se per un qualche $t_0$ risulta:
$|| f(t_0) - x_0 || \le ||f(t) - x_o||\ \forall t \in \RR$.
Allora deve essere $f'(t_0)$ ortogonale a $ f(t_0) - x_0 $.

Quello che mi si chiede di dimostrare, è che il vettore differenza tra il punto di minima distanza dalla curva ad un punto esterno, ed il punto esterno, sia ortogonale alla tangente alla curva in quel punto.
Il fatto che si stia parlando di minima distanza, comporta che i due vettori siano ortogonali, ma non mi sembra sufficiente come risposta.
Mi potreste aiutare a trovare una dimostrazione più convincente?

[Sk_Anonymous]

Forse ( dico forse...) potrebbe andar bene questa.
Poniamo :
$f(t)=(x(t),y(t),z(t)),x_0=(X_o,Y_o,Z_o)$
La funzione da considerare è:
$F(t)=(x(t)-X_o)^2+(y(t)-Y_o)^2+(z(t)-Z_o)^2$
Per i dati del problema questa F(t) ha un minimo in $t_o$ e quindi la sua derivata, rispetto alla indeterminata $t$, deve
essere nulla per $t=t_o$:
$2x'(t_o)(x(t_o)-X_o)+2y'(t_o)(y(t_o)-Y_o)+2z'(t_o)(z(t_o)-Z_o)=0$
Da cui ( indico col punto "." l'ordinario prodotto scalare in $mathbb{R^3}$) :
$[x'(t_o),y'(t_o),z'(t_o)] cdot [x(t_o)-X_o,y(t_o)-Y_o,z(t_o)-Z_o]=0$
C.V.D.

[delca85]

Grande! Grazie Ciromario, mi convince parecchio la tua dimostrazione!