Sottospazi di polinomi

[kekkonapoli94]

Salve a tutti, stamattina ho avuto il mio primo esame universitario (geometria e algebra) e come esercizio sui sottospazi la prof ha dato un polinomio. L'esercizio è il seguente:

In $RR_5 [x] = {f(x) in RR [x] : gr(f) <=5}$ si consideri il sottospazio

$U = { f(x)=a_0 +a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5 : a_0+a_1=a_2+a_3=a_4+a_5=0}$

1) Determinare una base di U e la sua dimensione;
2) completare a base di U ad una base di $R_5[x]$

Premetto che non abbiamo fatto molti esercizi con i polinomi, anzi praticamente nessuno.
Ho pensato per prima cosa di trovare $a_0 , a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , a_5$
quindi ho posto $a_1= - a_0 ; a_3=-a_2 ; a_5=-a_4 $
Poi non sapendo come continuare ho posto una base di U $(a_0, a_2x^2, a_4x^4)$
e ho completato la base : $(a_0, x, a_2x^2, x^3, a_4x^4, x^5)$
sono sicuro di aver sbagliato ma vorrei sapere da voi quale sarebbe stato il ragionamento da fare, grazie in anticipo

[ciampax]

Il sottospazio $U$ è formato da polinomi che hanno particolari caratteristiche per quanto riguarda i coefficienti. Poiché lavoriamo in $RR_5[x]$ possiamo partire dalla base canonica $\{1,\ x,\ x^2,\ x^3,\ x^4,\ x^5\}$ per determinare una base di $U$. Osserva che se indichiamo con $e_j=x^j,\ j=0,\ldots,5$ gli elemnti di tale base, per un qualsiasi polinomio si ha $f(x)=\sum_{j=0}^5 a_j x^j=\sum_{j=0}^5 a_j e_j=(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$, vedendo lo stesso come un vettore. Detto questo, per i polinomi in $U$ abbiamo la forma seguente (vettoriale)
$$f(x)=(a_0,-a_0,a_2,-a_3,a_4,-a_4)$$
Questo implica che ogni vettore di $U$ dipende da tre parametri e quindi $\dim U=3$. Assegnando di volta in volta il valore 1 ad uno solo di questi parametri e zero agli altri puoi determinare tre vettori di base e relativi polinomi:
$$f_1(x)=(1,-1,0,0,0,0)=1-x\\ f_2(x)=(0,0,1,-1,0,0)=x^2-x^3,\\ f_3(x)=(0,0,0,0,1,-1)=x^4-x^5$$
A questo punto il completamento a base di $RR_5[x]$ non dovrebbe essere difficile (osserva che hai bisogno di altri tre vettori).

[kekkonapoli94]

si ho capito...quindi il mio ragionamento era giusto, ma ho sbagliato a scrivere la base, infatti ho anche risposto che la dimensione era 3 ma ingenuamente ho sbagliato la base e di conseguenza anche il completamento.
quindi avrei dovuto scrivere come base completa:
$B= ((1,-1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0,0), (0,0,1,-1,0,0), (0,0,0,1,0,0) , (0,0,0,0,1,-1) , (0,0,0,0,0,1))$
o più semplicemente la base canonica
grazie mille comunque