Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno a tutti,
è la prima volta che faccio un post in questo sito e spero di crearlo rispettando adeguatamente tutte le regole del forum.
Sto svolgendo un esercizio sulle applicazioni lineari. Il testo recita in questo modo:
Consideriamo l'applicazione lineare $ f: R^4 -> R^4 $ la cui matrice associata rispetto alla base canonica è :
$ ( (a,1,1,1),(1,b,1,1),(1,1,c,1),(1,1,1,d) ) $
Sia $ W= {(x,y,z,w) in R^4: x+2y+3z+4w=0} $
Determinare per quali valori dei parametri si ha che $ Im(f) sube W $
Io l'ho pensata in questo ...
Ciao! Avrei bisogno di una mano con un problema:
Determinare i valori del parametro h per i quali il vettore v=(-1,0,h) appartiene al sottospazio U di R^3 generato dai vettori:
u1=(1,0,h)
u2=(-1,1,0)
u3=(h,1,0)
Io avevo pensato di usare il Teorema di Rouchè-Capelli. Ho fatto il determinante della matrice dei tre vettori e mi risulta zero per h=0 e h=-1 e poi ho applicato il teorema. Il problema è che non riesco a verificare se per h diverso da questi due valori il vettore appartiene al ...
Salve a tutti, e chiedo scusa in anticipo per la notazione, imparerò a scrivere in LaTeX quanto prima
Il mio problema è il seguente: ho una applicazione f: V->W. Supponiamo W=IR e V={ k-ple di vettori linearmente indipendenti di IR^n}. Doto IR della distanza euclidea, e mi si chiede di verificare che V è un sottoinsieme aperto di IR^(nk). Io pensavo di dotare anche IR^(nk) di distanza euclidea per poi prendere una qualsiasi F: IR^(nk)->IR, F continua, e considerare f come la restrizione di ...
Nello spazio euclideo definito dal prodotto scalare $ <(x_1,y_1,z_1);(x_2,y_2,z_2)> =z_1(3z_2+y_2+3x_2)+x_1(3z_2+5x_2)+y_1(z_2+y_2) $ determinare il prodotto vettoriale $ u Xw $ dove $ u=(-1,-1,1) $ e $ w=(2,1,1) $ .
Potreste aiutarmi con questo esercizio? Vi spiego come ho cercato di risolverlo. Ho determinato i versori associati a questo prodotto $ i=(5,0,3) $ $ j=(0,1,1) $ e $ k=(3,1,3) $ .
Poi ho "costruito" la matrice $ ( ( i , j , k ),( -1 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , 1 ) ) $ (disponendo le coordinate di u e w rispettivamente nella seconda e terza riga) ...
Salve come si arriva alla funzione H=R(1-cos@) per trovare l'altezza (dove per altezza si intende rispetto una superficie su cui poggia la circonferenza) di un punto su una circonferenza (dove R è il raggio, @ l'angolo tra la base della circonferenza e la posizione del punto)? .Grazie
Il prof. chiede spesso all'esame perché la combinazione lineare $\lambdaf(x_1,x_2,x_3) + \mug(x_1,x_2,x_3)$, dove $f(x_1,x_2,x_3)$ e $g((x_1,x_2,x_3)$ rappresentano due generiche coniche del fascio in coordinate omogenee, possa rappresentare tutte le coniche del fascio. Ho notato che non è mai soddisfatto delle risposte. A me la dimostrazione riesce immediata solo nel caso di fascio di rette perché riesco a dimostrarla anche tramite i versori delle rette, ma, nel caso delle coniche, non mi riesce per nulla intuitiva né ...
Ho letto la definizione di spazio vettoriale su diversi testi (tra cui il Sernesi), e tutti parlano delle proprietà che lo caratterizzano (commutatività, associatività etc.) come assiomi. Ora, io so che gli assiomi sono quelle proposizioni che si assumono come vere pur non venendo dimostrate, quindi perché quelle proprietà, che sono parte della definizione di spazio vettoriale, vengono definite tali? . Non sarebbe come se dicessi che "l'impossibilità di esprimere un numero come rapporto tra ...
ciao a tutti!
sto facendo questo esercizio, e nonostante io sia conscio che sia una cavolata immane mi sono saliti dei dubbi che mi hanno bloccato. ecco qui il testo:
Sia $ V = C^0 ( [ 0 , 1 ] ) $ lo spazio vettoriale reale delle funzioni continue su $ [ 0 , 1 ] $.
i) si dica se l'insieme $ { 1 , sin(pix) } $ è linearmente indipendente o dipendente e si determini una base del sottospazio generato.
ii) si definisca su $ V $ il prodotto scalare $ ( u , v ) = int_(0)^(x) u(x)*v(x) dx $ . Si determini il trasposto ...
Salve! Ho un dubbio riguardo alla teoria: intendendo con varietà lineare l' insieme vettori
$u+W = {u+w|w$ $in$ $W}$
dove $V$ è uno spazio vettoriale, $u$ un vettore che appartiene a $V$ e $W$ un sottospazio di $V$, quando si può dire che due varietà lineari sono uguali?
Grazie!
Ciao, amici! Volevo chiedere conferma o smentita di un fatto che a me sembra evidente, ma chissà che non mi stia ingannando... Se $f:X\to Y$ è un omeomorfismo tra spazi topologici, per ogni sottinsieme $S\subset X$, si ha che \(f(\text{Int}(S))=\text{Int}f(S)\), \(f(\partial S)=\partial (f(S))\) (con $\partial$ intendo la frontiera), \(f(\text{Ext}(S))=\text{Ext}f(S)\) e quindi anche \(f(\overline{S})=\overline{f(S)}\), giusto?
$\infty$ grazie!
Ciao a tutti
Ho due domande:
1)come faccio a riconoscere che una applicazione tra IR^n e IR^m è continua ?
so la definizione topologica di funzione continua, ma non riesco a applicarla in questo caso.
2) nel caso finito dimensionale, linearità \( \Longleftrightarrow \) continuità?
So che non è vero in generale per operatori lineari infinito dimensionali, ma pensando alle rette mi viene il sospetto che sia come penso. Il sospetto è fondato?
Grazie a tutti per la disponibilità, forum ...
Come si dimostra che è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta e numeri reali (e di conseguenza tra punti del piano/spazio e $RR^2$/$RR^3$)? So bene che l'insieme $RR$ è stato creato proprio perché i razionali non bastavano per formare una biezione del genere, ma nelle diverse costruzioni dei numeri reali che ho studiato (sezioni di Dedekind, successioni di Cauchy...) non si fa accenno a questa possibilità, che non è data né ...
Ho un problema con questa matrice
$A=((1,0,0),(0,2,0),(2,k+1,2))$
e posto k=1 devo trovare le basi per ciascun autospazio.
So che gli autovettori sono
$\lambda_1=1, \mu(1)=1, \nu(1)=1$
$\lambda_2=2, \mu(2)=2, \nu(2)=\{(2, if k=-1),(1, if k!=-1):}$
quindi io farei: $A*\lambda_1(v)=O_{\RR^3}=((1,0,0),(0,2,0),(2,2,2))*((x),(y),(z))$
ma mi viene (0,0,0) con tutti e due gli autovalori quando nella soluzione mi trova due basi distinte.
Cosa sbaglio?
Salve ragazzi, mi sapreste aiutare su questo esercizio?
L'esercizio mi chiede: data l'equazione:
$ kx^2-2xy+5y^2-k^2=0 $
stabilire se vi sono dei valori di k per cui la conica risulta riducibile e trovare in tali casi le equazioni delle rette di cui essa risulta essere unione e le coordinate dei punti doppi.
Allora per svolgere questo esercizio ho fatto così:
mi sono costruito la matrice associata:
$ | ( k , -1 , 0 ),( -1 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , -k^2 ) | $
che risulta uguale a zero per i valori: k=0 e k=1/5. Quindi in questi due casi ...
Ciao, amici! Trovo sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin che un sottoinsieme $M$ di uno spazio lineare topologico $E$ sul campo $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ è detto limitato quando per ogni intorno dello $0$ esiste un $n>0$ tale che \(M\subset\lambda U\) per ogni \( |\lambda|\geq n \).
Altrove leggo una definizione per cui $M$ è limitato quando per ogni intorno dello ...
Salve a tutti ,
data un matrice $2X2$
$ ( ( -k , 1/2kl ),( 1/2kl , -1/4kl^2lambda ) ) $ con $ k,l>0 $
Devo assicurarmi che è definita positiva se $lambda>0$ , oltre al metodo che utilizza gli autovalori , che a me non viene , ho provato ad utilizzare il metodo di sylvester senza risultato , come si vede ad occhio.
Ora vi chiedo , esiste un metodo più semplice della ricerca degli autovalori per affermare se una matrice $2X2$ è definita positiva ?
Grazie per l' aiuto.
La traccia è la seguente: "determinare i valori del parametro k affinchè il punto (2, -1) disti $ 9/\sqrt{13} $ dalla retta di equazione (k+1)x -ky +1=0
Ho pensato di svolgere nel seguente modo, applicando la formula della distanza di un punto da una retta e assumendo x0=2 e y0=2 ; a= k+1 e b=k; e sostituendo allo 0 del secondo membro dell'equazione la distanza data dalla traccia. Escono però calcoli complicati e non riesco a trovarmi.
Salve a tutti,
Sia R l'insieme dei numeri reali
Qual è la cardinalità del prodotto cartesiano RxRx... infinite volte?
Grazie.
Buongiorno, mi sto preparando per il test di ingegneria e mi sono imbattuto in un problema a cui non riesco proprio a trovarmi. La traccia è questa:
determinare le coordinate dei punti appartenenti alla retta di equazione x-3y+2=0 e che hanno distanza da P(-2,-1) uguale a 1
RISULTATO: P1 (-2,0) P2( $-13/5 , -1/5 $)
Ho provato in vari modi, con la formula della distanza di un punto da una retta, ma niente, spero solo di non aver sbagliato qualche calcolo, ma ho controllato e ricontrollato, ...
Salve ragazzi, ho un quesito da chiedervi. Ho questo esercizio che mi chiede:
Nello spazio Euclideo $ E^3 $ si fissi un sistema di riferimento ortonormale e si considerino la retta r ed il piano $ pi $ di equazioni:
$ r: { ( 2x+z-1=0 ),( ay+4z=0 ):} $ , $ pi : ax-y-z+(1-a)=0 $
Per quali valori di a la retta r ed il piano $ pi $ risultano ortogonali?
Allora ho provato diverse strade ma non riesco a trarre una conclusione. Innanzitutto per la teoria so che se due rette sono ...
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