Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao! Qualcuno mi può aiutare a dimostrare questa proposizione?
"Dimostrare che L trasforma famiglie di vettori linearmente indipendenti in famiglie di vettori linearmente dipendenti se, e solo se, $ker(L)={0_v}$".
Per la prima parte avevo pensato che come ipotesi ho:
$v_1, ..., v_n$ sono vettori linearmente indipendenti
$L(v_1), ..., L(v_n)$ sono linearmente dipendenti
e come tesi $ker(L)={0_v}$
Quindi $EE$ gli scalari $x_1, ... x_n$ tutti nulli tale che ...
Ciao! Avrei una domanda per quanto riguarda la teoria, una dimostrazione che non saprei proprio fare..
Dimostrare che ogni matrice ortogonalmente diagonalizzabile è simmetrica.
So che una matrice A, quadrata, si dice simmetrica se $A^T = A$ e A è ortogonalmente diagonalizzabile se esiste una matrice H tale che $H^T A H = D$, dove D è una matrice diagonale.
Non riesco però a collegare queste due cose, e ho l'esame fra qualche giorno
Qualcuno mi può dare una mano??
Ciao a tutti, ho come esercizio questo sistema lineare
x -ky -z =1
x -y -kz = k
kx +y -z = 1
il testo mi dice di trovare i valori di k per il quale il sistema ha infinite soluzioni ed eventualmente calcolarle e dire se (1,1,1) è soluzione per k=0.
Faccio il determinante della matrice associata e trovo che k =0 k=1 k= -1.
Devo usare rouche capelli? se si come calcolo il rango di A|b? grazie a tutti
Ragazzi, domani ho l'esame di geometria e non so minimamente come passare dalla forma Canonica a quella Normale, qualcuno di voi con un esempio, potrebbe aiutarmi a chiarirmi le idee per favore? E' uno dei punti più cruciali che non riesco proprio ad affrontare. Grazie in anticipo
Ciao, amici! La continuità di un'applicazione $f:X\to Y$ in $x_0$, definita dal fatto che \(\forall U\in\mathcal{N}(f(x_0))\) \(\exists V\in\mathcal{N}(x_0):f(V)\subset U \) (dove \(\mathcal{N}(x)\) è la famiglia di tutti gli intorni di $x$) è equivalente, nel caso di $X$ e $Y$ spazi metrici, al fatto che per ogni successione \(\{x_n\}\) convergente a $x_0$ si abbia \(\lim_n f(x_n)=f(x_0)\).
Quest'equivalenza vale per ...
Salve a tutti,
Ho iniziato a studiare da poco l'Algebra di Boole e dopo aver letto la definizione di reticolo,sulle slide della mia Professoressa ho trovato quest'altra definizione :
"I reticoli sono ordinati,ovvero posseggono una relazione d'ordine "$<=$" così definita :
$x<=y$ $\Leftrightarrow$ $x+y=y$ "
Non riesco a capire $x+y=y$ da dove esce,visto che non ci ha fornito la dimostrazione.
Tale definizione si ricava o si dimostra da una ...
Salve, il mio professore ha dato una lista di domande come guida per lo studio all'orale, ma ce n'è una che non capisco proprio: "Date le matrici A e B delle quali si possa fare il prodotto, enunciare il prodotto di A e B in funzione delle righe di B."
Qualcuno sa a cosa si riferisce? A me verrebbe da pensare al prodotto righe per colonne, ma non saprei come esprimerlo in funzione delle righe di B..
Grazie in anticipo!
Salve è la prima volta che scrivo sul forum, la mia domanda riguardava un esercizio banale ma che in un punto non mi è chiaro. L'esercizio mi dice di considerare l'applicazione lineare associata alla matrice e di determinarne una base del nucleo ed una base dell'immagine. Mi sono calcolato la base del nucleo, ma onestamente non ho capito come calcolare la base dell'immagine.
$((-1,3,3,1),(3,4,9,4),(1,2,0,4),(0,-1,1,7))$
Salve a tutti!
Scrivendo un documento su autovalori ed autovettori, il mio professore mi ha detto che gli par di ricordare che ci sia un teorema per le matrici simmetriche, il quale enunci qualcosa del tipo che ad una matrice simmetrica corrispondano sempre o
1) autovalori reali distinti; o
2) autovalori reali non distinti, ma in cui non vi è difetto di molteplicità
e quindi che conseguentemente a matrici simmetriche siano sempre associati n autovettori linearmente indipendenti.
Poiché non era ...
Non ho mai capito cosa significa dare una rappresentazione da 2-n dimensioni di un oggetto di dimensione superiore a n. O meglio, so cosa significa ma mi sembra una cosa inutile. Prendiamo il caso tridimensionale. Ora voglio rappresentare un cubo, oppure un uomo in una dimensione inferiore. Allora disegno sulla lavagna un omino con le stanghette e dico: ''Questo è un uomo''. Beh? Che utilitá ha questa cosa? Adesso voi potreste dire: un uomo perô possiamo rappresentare bidimensionale ...
Ciao! Volevo chiedere come si fa a dimostrare questa proposizione:
In uno spazio vettoriale V di dimensione n si ha:
- n generatori sono una base;
-n vettori linearmente indipendenti sono una base;
Grazie!
Ciao a tutti. Oggi ho incontrato un po' di difficoltà nel cercare di risolvere un esercizio che vi propongo:
Si consideri lo spazio vettoriale $R^4$ con coordinate canoniche $x, y, z, w$. Siano inoltre $\vec{v}_t = (6, 1, t, 2)$ un vettore(dipendente dal parametro t), $U = Span{(3,1,1,2),(3,0,1,0)}$ un sottospazio di $R^4$ e $W_k$ il sottospazio di $R^4$(dipendente dal parametro k), definito dall'equazione cartesiana $3x-kz = 0$.
1)Determinare le dimensioni ...
Ciao, avrei un dubbio su un esercizio:
Determinare i valori del parametro h per i quali la matrice $M=((1, 0, h), (0, 0, 0), (1, 0, 1))$ è diagonizzabile su $RR$;
corrispondentemente a ciascuno di tali valori, trovare una matrice invertibile $C_h$ tale che la matrice $C_h^-1 M_h C_h$ risulti diagonale.
Nella prima parte non ho avuto grossi problemi (sempre che abbia fatto giusto ): ho calcolato il polinomio caratteristico che mi risulta essere $p_m (t) = t*(t-1-sqrt(h))*(t-1+sqrt(h))$ e ho trovato gli ...
Salve a tutti,
Se ho una matrice di ordine 3 con valori tutti uguali, che rappresenta un endomorfismo di $\mathbb{R}^3$ allora può, tale endomorfismo, essere né iniettivo né suriettivo? Perché la dimensione dell'immagine è 1 e di conseguenza la dimensione del nucleo è 2.
Salve, come da titolo non riesco a risolvere questo esercizio:
Siano U={(x,y,z,t)^t: x+2y-z=0, x-2y-t=0} e W={(x,y,z,t) : x-y+z=0, x+y+t=0} sottospazi di R^4. Determinare un endomorfismo in R^4 che ammetta U come nucleo e W come immagine.
Non ho idea di cosa debba fare, vi prego aiutatemi, è l'unica tipologia d'esercizio che non riesco a fare
Ciao, amici! Per verificare che la topologia indotta dalla topologia \(\ast\)-debole nella sfera unitaria \(S^{\ast}=\{f\in E^{\ast}:\|f\|\leq 1\}\) dello spazio duale di uno spazio normato separabile è metrizzabile, il mio testo procede con il verificare che i sistemi fondamentali di intorni dello 0 delle due topologie siano equivalenti, come si legge nel link, con la precauzione di notare che nella traduzione inglese c'è un errore di stampa: la condizione (2) deve leggersi, in ...
Sia $A=((4,0,2),(1,0,0),(0,1/2,0))$.
Devo dimostrare che $A$ ha 1 autovalore reale e 2 autovalori complessi.
I tre cerchi di Gerschgorin che ricavo dai coefficienti della matrice $A$ (per righe) sono:
$C_1=B(4,2]$, $C_2=B(0,1]$, $C_3=B(0,1/2]$.
Siccome $C_1nn(C_2uuC_3)=\emptyset$ c'è esattamente un autovalore che sta in $C_1$, chiamiamolo $lambda_1$.
Deve essere $lambda_1\inRR$ altrimenti si avrebbe che $lambda_1$ e $\barlambda_1$ sono ...
Ciao a tutti, mi sono imbattuto in questo problema assegnato nella prova data alla SNS nell' a.a. 2008-2009 e non ho molte idee da cui partire per risolverlo
Il problema è questo:
Sia P un poliedro convesso.
a) Supponiamo che P abbia un numero dispari di facce e che tutte le facce abbiano lo stesso numero di lati. Mostra che tutte le facce hanno 4 lati.
b) Supponiamo che P abbia la proprietà che date due qualsiasi sue facce $F_1$ e $F_2$ esiste una rotazione nello ...
Ciao a tutti,ho un piccolo dubbio,cioè:
tra i miei appunti ho trovato che per vedere se una matrice $ 3*2 $ ha rango 2 occorre calcolare A,B,C che sono i determinanti dei minori complementari. Successivamente bisogna calcolare $ sqrt(A^2+B^2+C^2) $ e vedere se il risultato è diverso da zero(in tal caso il rango è pari a 2).Inoltre,$ sqrt(A^2+B^2+C^2) $ è uguale al modulo del prodotto vettoriale tra la prima e la seconda colonna della matrice? Credo di aver fatto un po' di confusione! Grazie ...
Ciao, non so come risolvere questo esercizio:
Nello spazio R3, munito del prodotto interno euclideo, dato S = span {(3, 0, 4), (0,−2, 0)}, sia ¯s l’elemento
di S che meglio approssima il vettore u = (1, 2, 3). Si calcoli ( span {¯s} )⊥.
Grazie a chi saprà darmi qualche spiegazione e la soluzione
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