Poliedro convesso
Ciao a tutti, mi sono imbattuto in questo problema assegnato nella prova data alla SNS nell' a.a. 2008-2009 e non ho molte idee da cui partire per risolverlo 
Il problema è questo:
Sia P un poliedro convesso.
a) Supponiamo che P abbia un numero dispari di facce e che tutte le facce abbiano lo stesso numero di lati. Mostra che tutte le facce hanno 4 lati.
b) Supponiamo che P abbia la proprietà che date due qualsiasi sue facce $F_1$ e $F_2$ esiste una rotazione nello spazio che lascia P invariante e che porta $F_1$ su $F_2$. Mostra che P ha un numero pari di facce.
Per quanto riguarda il punto A ho proceduto in questo modo:
Sappiamo che P ha un numero dispari di facce e chiamiamo $F=2n+1$. Chiamando il numero dei lati per ogni faccia $l$ avremmo che il numero degli spigoli $S$ sarà uguale a $S=\frac{(2n+1)l}{2}$
Dalla formula di Eulero sappiamo che $F+V=s+2$
Quindi $V=\frac{(2n+1)l}{2}+2-2n-1$ e ottengo che $V=\frac{2nl-4n+l+2}{2}$ ma poichè $V$ deve essere intero sarà $l=2m$
sostituendo ottengo alla fine
$V=nl-2n+\frac{l}{2}+1=F\frac{l}{2}-F+2$
Tuttavia il numero massimo di vertici sarà $V_{max}=\frac{Fl}{3}$ poichè in un vertice possono al minimi incontrarsi 3 lati.
E quindi ponendo:
$V
La soluzione mi sembra corretta tuttavia è un pò troppo "macchinosa" e poco originale...Se qualcuno ha qualche idea migliore sarei lieto di poterla conoscere
Per quanto riguarda il secondo punto invece non ho molte idee quindi, alla ricerca di qualche suggerimento, mi rivolgo a voi
Grazie mille in anticipo a chi risponderà
Il problema è questo:
Sia P un poliedro convesso.
a) Supponiamo che P abbia un numero dispari di facce e che tutte le facce abbiano lo stesso numero di lati. Mostra che tutte le facce hanno 4 lati.
b) Supponiamo che P abbia la proprietà che date due qualsiasi sue facce $F_1$ e $F_2$ esiste una rotazione nello spazio che lascia P invariante e che porta $F_1$ su $F_2$. Mostra che P ha un numero pari di facce.
Per quanto riguarda il punto A ho proceduto in questo modo:
Sappiamo che P ha un numero dispari di facce e chiamiamo $F=2n+1$. Chiamando il numero dei lati per ogni faccia $l$ avremmo che il numero degli spigoli $S$ sarà uguale a $S=\frac{(2n+1)l}{2}$
Dalla formula di Eulero sappiamo che $F+V=s+2$
Quindi $V=\frac{(2n+1)l}{2}+2-2n-1$ e ottengo che $V=\frac{2nl-4n+l+2}{2}$ ma poichè $V$ deve essere intero sarà $l=2m$
sostituendo ottengo alla fine
$V=nl-2n+\frac{l}{2}+1=F\frac{l}{2}-F+2$
Tuttavia il numero massimo di vertici sarà $V_{max}=\frac{Fl}{3}$ poichè in un vertice possono al minimi incontrarsi 3 lati.
E quindi ponendo:
$V
La soluzione mi sembra corretta tuttavia è un pò troppo "macchinosa" e poco originale...Se qualcuno ha qualche idea migliore sarei lieto di poterla conoscere
Per quanto riguarda il secondo punto invece non ho molte idee quindi, alla ricerca di qualche suggerimento, mi rivolgo a voi
Grazie mille in anticipo a chi risponderà
Risposte
Il valore che devi ottenere nel primo punto è $l$, ma nell'ultima disequazione hai scritto $V$ che rappresentava il numero di vertici dell'intero poliedro. Ti consiglio di porre maggiore attenzione a questi dettagli. Ma direi che è in generale corretto come metodo e quello che avrei probabilmente portato avanti.
Per il secondo punto devo pensarci un po' di più. Ma come punto di partenza si può osservare che tutte le facce sono tra di loro congruenti (possono infatti essere mandate le une nelle altre attraverso una rotazione). Esiste anzi almeno una rotazione che date due facce trasforma una nell'altra lasciando il poliedro invariato.
Per il secondo punto devo pensarci un po' di più. Ma come punto di partenza si può osservare che tutte le facce sono tra di loro congruenti (possono infatti essere mandate le une nelle altre attraverso una rotazione). Esiste anzi almeno una rotazione che date due facce trasforma una nell'altra lasciando il poliedro invariato.
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