Numeri reali e punti del piano
Come si dimostra che è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta e numeri reali (e di conseguenza tra punti del piano/spazio e $RR^2$/$RR^3$)? So bene che l'insieme $RR$ è stato creato proprio perché i razionali non bastavano per formare una biezione del genere, ma nelle diverse costruzioni dei numeri reali che ho studiato (sezioni di Dedekind, successioni di Cauchy...) non si fa accenno a questa possibilità, che non è data né come assioma né come teorema, e su Internet ho trovato ben poco. Voi conoscete una dimostrazione?
Grazie mille
Grazie mille
Risposte
Non ci è ragione di farne cenno: è un corollario del teorema che afferma che il prodotto cartesiano di insiemi infiniti della stessa cardinalità è della stessa cardinalità dei suoi fattori.
Mmh...perdonami ma non vedo il collegamento tra le due cose 
Se ho bene inteso la domanda, la risposta è che nella trattazione moderna retta, piano e spazio euclidei sono per definizione particolari spazi affini reali di dimensione rispettivamente 1, 2 e 3.
Uno spazio affine reale di dimensione n è un qualsiasi insieme $mathcal{A}_n$ (i cui oggetti sono chiamati convenzionalmente punti) tale che ad ogni coppia di punti P e Q si possa associare un elemento di $RR^n$ (vettore), solitamente indicato con $\bar{PQ}$. Questa corrispondenza tra coppie di punti e vettori deve soddisfare un paio di proprietà e cioè:
1. Per ogni vettore v di $RR^n$ e per ogni punto P di $mathcal{A}_n$ esiste un unico punto Q tale che $\bar{PQ}=v$.
2. Dati tre punti P, Q, R si ha che $\bar{PQ}+\bar{QR}=\bar{PR}$.
A questo punto, fissato un qualsiasi punto O di uno spazio affine di dimensione n, per la 1. c'è evidentemente una corrispondenza biunivoca tra i punti dello spazio e le n-uple di numeri reali.
Infine, uno spazio euclideo di dimensione 1, 2, 3 è per definizione uno spazio affine di dimensione 1, 2, 3 con in più un prodotto scalare su i vettori e quindi (in quanto spazio affine) è in corrispondenza biunivoca con $RR^n$.
In soldoni nella geometria moderna l'esistenza della corrispondenza biunivoca è una conseguenza immediata delle definizioni che si danno.
Uno spazio affine reale di dimensione n è un qualsiasi insieme $mathcal{A}_n$ (i cui oggetti sono chiamati convenzionalmente punti) tale che ad ogni coppia di punti P e Q si possa associare un elemento di $RR^n$ (vettore), solitamente indicato con $\bar{PQ}$. Questa corrispondenza tra coppie di punti e vettori deve soddisfare un paio di proprietà e cioè:
1. Per ogni vettore v di $RR^n$ e per ogni punto P di $mathcal{A}_n$ esiste un unico punto Q tale che $\bar{PQ}=v$.
2. Dati tre punti P, Q, R si ha che $\bar{PQ}+\bar{QR}=\bar{PR}$.
A questo punto, fissato un qualsiasi punto O di uno spazio affine di dimensione n, per la 1. c'è evidentemente una corrispondenza biunivoca tra i punti dello spazio e le n-uple di numeri reali.
Infine, uno spazio euclideo di dimensione 1, 2, 3 è per definizione uno spazio affine di dimensione 1, 2, 3 con in più un prodotto scalare su i vettori e quindi (in quanto spazio affine) è in corrispondenza biunivoca con $RR^n$.
In soldoni nella geometria moderna l'esistenza della corrispondenza biunivoca è una conseguenza immediata delle definizioni che si danno.
Beh, a dire il vero a me interessava la geometria euclidea costruita a partire dagli assiomi di Euclide/Hilbert. Mi sembra necessario partire da qui, perché altrimenti come si può giustificare la definizione moderna di spazio euclideo?
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