"Assiomi" di uno spazio vettoriale

[siddy98]

Ho letto la definizione di spazio vettoriale su diversi testi (tra cui il Sernesi), e tutti parlano delle proprietà che lo caratterizzano (commutatività, associatività etc.) come assiomi. Ora, io so che gli assiomi sono quelle proposizioni che si assumono come vere pur non venendo dimostrate, quindi perché quelle proprietà, che sono parte della definizione di spazio vettoriale, vengono definite tali? . Non sarebbe come se dicessi che "l'impossibilità di esprimere un numero come rapporto tra interi" è l'assioma dei numeri irrazionali?

P.S. È corretto dire che un certo insieme $ A $ è uno spazio vettoriale? Oppure bisogna dire che "sull'insieme $ A $ è definita una struttura di spazio vettoriale"? Qual è la differenza?

[ciampax]

Fai confusione: assioma in questo senso sta a significare "queste sono le condizioni che caratterizzano il concetto di spazio vettoriale". Il senso è che tale nozione è "derivata" dal fatto che valgono per un certo insieme dotato di certe operazioni le proprietà (assiomi) così definite. Più chiaro ora?

[Seneca1]

"siddy98":
P.S. È corretto dire che un certo insieme $ A $ è uno spazio vettoriale? Oppure bisogna dire che "sull'insieme $ A $ è definita una struttura di spazio vettoriale"? Qual è la differenza?

La prima è imprecisa e la seconda è incompleta; in entrambi i casi è necessario specificare il campo $K$ e le due operazioni $(+, \cdot)$ che danno ad $A$ la struttura di spazio vettoriale.

[vict85]

Io preferisco parlare di definizione più che assiomi perché lo spazio vettoriale è solo una particolare struttura algebrica.