Esercizio (base del nucleo e base dell'immagine)
Salve è la prima volta che scrivo sul forum, la mia domanda riguardava un esercizio banale ma che in un punto non mi è chiaro. L'esercizio mi dice di considerare l'applicazione lineare associata alla matrice e di determinarne una base del nucleo ed una base dell'immagine. Mi sono calcolato la base del nucleo, ma onestamente non ho capito come calcolare la base dell'immagine.
$((-1,3,3,1),(3,4,9,4),(1,2,0,4),(0,-1,1,7))$
$((-1,3,3,1),(3,4,9,4),(1,2,0,4),(0,-1,1,7))$
Risposte
L'immagine è ottenuta dalla combinazione lineare delle colonne della matrice.
Se scegli le colonne linearmente indipendenti , queste formeranno una base dell'immagine.
Come controllo verifica poi che $dim ker f +dim Imf = 4 $.( con $ f $ indico l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice )
Se scegli le colonne linearmente indipendenti , queste formeranno una base dell'immagine.
Come controllo verifica poi che $dim ker f +dim Imf = 4 $.( con $ f $ indico l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice )
capito capito, grazie mille.
uppo questa discussione perchè ho lo stesso dubbio però nonostante la risposta di camillo non ho capito..
nel caso di questa matrice come si trovano le basi? il rango in questo caso è 4 quindi la dimensione dell'immagine è 4 no? ma le basi quali sono? se mi fate passaggio per passaggio ve ne sarei immensamente grato (non capisco bene nemmeno la cosa dell'indipendenza lineare, cioè come si fa ad esempio da alcune colonne a trovare ad esempio 1,0,1,1?!? )
Grazie infinite anticipatamente
nel caso di questa matrice come si trovano le basi? il rango in questo caso è 4 quindi la dimensione dell'immagine è 4 no? ma le basi quali sono? se mi fate passaggio per passaggio ve ne sarei immensamente grato (non capisco bene nemmeno la cosa dell'indipendenza lineare, cioè come si fa ad esempio da alcune colonne a trovare ad esempio 1,0,1,1?!? )
Grazie infinite anticipatamente
Se il rango è effettivamente 4 (cosa che non ho controllato) l'immagine è tutto $RR^4$ (ammesso che si lavori su quello) e quindi è generato da qualsiasi 4 vettori linearmente indipendenti, per esempio la base canonica o le colonne della matrice.
Per esprimere $(1, 0, 1, 1)$ secondo le colonne, risolvi il sistema $ac_1 +bc_2 +dc_3 +ec_4 = (1, 0, 1, 1)$ con notazioni facilmente immaginabili.
Per esprimere $(1, 0, 1, 1)$ secondo le colonne, risolvi il sistema $ac_1 +bc_2 +dc_3 +ec_4 = (1, 0, 1, 1)$ con notazioni facilmente immaginabili.
cioè se ho ad esempio questa matrice:
$((0,1,-1),(-1,2,-1),(-1,1,0))$
io ho ke $kerf={(x,x,x)}
e $Im f=$$prop$$ (0,1,1),(1,1,0)$ giusto?(è secondo la soluzione)...però non capisco perchè risulta così..che passaggi avrei dovuto fare?
Grazie ancora per la disponibilità...
$((0,1,-1),(-1,2,-1),(-1,1,0))$
io ho ke $kerf={(x,x,x)}
e $Im f=$$prop$$ (0,1,1),(1,1,0)$ giusto?(è secondo la soluzione)...però non capisco perchè risulta così..che passaggi avrei dovuto fare?
Grazie ancora per la disponibilità...
$Ker f $ è come hai trovato tu , non è altro che la soluzione del sistema omogeneo associato alla matrice.
quindi $ker f = alpha(1,1,1)$ e una base è ad esempio $(1,1,1)$, che ha dimensione 1.
La $dim Im f $ sarà uguale al rango della matrice , che vale $2$.
Per trovarne una base basta scegliere due colonne linearmente indipendenti ad es. $(0,-1,-1),(-1,-1,0)$ che puoi anche riscrivere come $(0,1,1),(1,1,0)$.
quindi $ker f = alpha(1,1,1)$ e una base è ad esempio $(1,1,1)$, che ha dimensione 1.
La $dim Im f $ sarà uguale al rango della matrice , che vale $2$.
Per trovarne una base basta scegliere due colonne linearmente indipendenti ad es. $(0,-1,-1),(-1,-1,0)$ che puoi anche riscrivere come $(0,1,1),(1,1,0)$.
ok ci sono quasi..
un ultima domanda molto stupida ma su cui ho ancora un dubbio..
per vedere quali delle 3 colonne sono linearmente indipendenti come faccio? con la teoria l'ho capito ma nella pratica non riesco ad attuare il procedimento
grz
un ultima domanda molto stupida ma su cui ho ancora un dubbio..
per vedere quali delle 3 colonne sono linearmente indipendenti come faccio? con la teoria l'ho capito ma nella pratica non riesco ad attuare il procedimento
grz
Ciao ragazzi!
Ho un problemino su questo stesso argomento, però più a livello teorico!
Spesso nell'esame viene richiesto di esprimere l'immagine ed il ker di f in termini delle rispettive basi. Qualcuno saprebbe dirmi in che modo si potrebbe scrivere, supponendo un prof molto esigente?
Ho un problemino su questo stesso argomento, però più a livello teorico!
Spesso nell'esame viene richiesto di esprimere l'immagine ed il ker di f in termini delle rispettive basi. Qualcuno saprebbe dirmi in che modo si potrebbe scrivere, supponendo un prof molto esigente?
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