Dimensione di somma e intersezione di sottospazi
Ciao a tutti. Oggi ho incontrato un po' di difficoltà nel cercare di risolvere un esercizio che vi propongo:
Si consideri lo spazio vettoriale $R^4$ con coordinate canoniche $x, y, z, w$. Siano inoltre $\vec{v}_t = (6, 1, t, 2)$ un vettore(dipendente dal parametro t), $U = Span{(3,1,1,2),(3,0,1,0)}$ un sottospazio di $R^4$ e $W_k$ il sottospazio di $R^4$(dipendente dal parametro k), definito dall'equazione cartesiana $3x-kz = 0$.
1)Determinare le dimensioni dell'intersezione $U \cap W_k$ e dello spazio somma $U+W_k$ in funzione del parametro $k$;
2)per $k=1$, si determini una base di $U \cap W_{k = 1}$;
3)Trovare i valori di $t$ per i quali risulta $\vec{v}_t \in U \cup W_{k=1}$ (unione insiemistica).
Voi come lo risolvereste? Io sono un po' bloccato, vi ringrazio in anticipo!
Si consideri lo spazio vettoriale $R^4$ con coordinate canoniche $x, y, z, w$. Siano inoltre $\vec{v}_t = (6, 1, t, 2)$ un vettore(dipendente dal parametro t), $U = Span{(3,1,1,2),(3,0,1,0)}$ un sottospazio di $R^4$ e $W_k$ il sottospazio di $R^4$(dipendente dal parametro k), definito dall'equazione cartesiana $3x-kz = 0$.
1)Determinare le dimensioni dell'intersezione $U \cap W_k$ e dello spazio somma $U+W_k$ in funzione del parametro $k$;
2)per $k=1$, si determini una base di $U \cap W_{k = 1}$;
3)Trovare i valori di $t$ per i quali risulta $\vec{v}_t \in U \cup W_{k=1}$ (unione insiemistica).
Voi come lo risolvereste? Io sono un po' bloccato, vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Ciao, non so se lo sai, ma da regolamento dovresti prima esporre un tuo tentativo di risoluzione. Il consiglio che mi viene da darti è di provare a risolvere dapprima un esercizio di questo tipo ma senza parametri, se così ti è troppo difficile, poi prova a generalizzare. In ogni caso scrivi le tue idee, poi qualcuno che ti aiuta lo trovi 
...
Considero $3x-kz = 0$ e lo riporto in forma parametrica. Dunque poichè ho un'equazione con quattro incognite ($y,w$ non compaiono, quindi possono assumere qualsiasi valore) nomino $(y = t_1, z = t_2, w = t_3) \rightarrow x = \frac{1}{3} kt_2$.
Ora stabilisco la dimensione di $W_k$ che in questo caso non mi sembra dipendere dal parametro $k$.. Ne determino una base $B_{W_k} = Span{(0, 1, 0, 0)(\frac{1}{3}k, 0, 1, 0)(0, 0, 0, 1)}$, quindi $W_k$ ha dimensione 3. Per calcolare poi $dim(U+W)$ prendo tutti i vettori di $U$ e quelli relativi a $W_k$ e applico l'algoritmo di estrazione di una base... Il problema è che a un certo punto quel parametro $k$ mi mette un po' in difficoltà e non so come comportarmi..
Considero $3x-kz = 0$ e lo riporto in forma parametrica. Dunque poichè ho un'equazione con quattro incognite ($y,w$ non compaiono, quindi possono assumere qualsiasi valore) nomino $(y = t_1, z = t_2, w = t_3) \rightarrow x = \frac{1}{3} kt_2$.
Ora stabilisco la dimensione di $W_k$ che in questo caso non mi sembra dipendere dal parametro $k$.. Ne determino una base $B_{W_k} = Span{(0, 1, 0, 0)(\frac{1}{3}k, 0, 1, 0)(0, 0, 0, 1)}$, quindi $W_k$ ha dimensione 3. Per calcolare poi $dim(U+W)$ prendo tutti i vettori di $U$ e quelli relativi a $W_k$ e applico l'algoritmo di estrazione di una base... Il problema è che a un certo punto quel parametro $k$ mi mette un po' in difficoltà e non so come comportarmi..
Allora ok la prima parte, infatti lo spazio ( il secondo vettore lo prendo multiplo di quello che hai scelto tu per non portarmi in giro frazioni )
\[
W_k=Span_{\mathbb{R}}\Big\{(0,1,0,0);(k,0,3,0);(0,0,0,1) \Big\},
\] che ha dimensione $3$, indipendentemente dal valore di $k$.
Però l'esercizio ti chiede di determinarti gli spazi $U\capW_k$ e $U+W_k$ in funzione del parametro $k$.
Innanzitutto ti faccio osservare che il vettore $(3,0,1,0) \in U$ è multiplo del vettore $(k,0,3,0)$ se $k=9$; infatti
\[ 3\cdot (3,0,1,0)=(9,0,3,0),
\] mentre il vettore $(3,1,1,2)$ è combinazione lineare dei tre vettori che generano $W_9$; pertanto puoi concludere che per $k=9$ $U\capW_k=U$; e la somma....( con un ragionamento analogo vedi subito chi è ) e dunque sai già chi sono le dimensioni.
Se $k\ne9$ osservi che $(k,0,3,0)$ non è più multiplo di $(3,0,1,0)$; però i vettori della forma $h(3,1,1,2)-h(3,0,1,0)$ di $U$, per ogni $h \in \mathbb{R}$, sono anche vettori di $W_k$. Pertano la dimensione dell'intersezione è $1$ e con la regola di Grassman puoi trovare la dimensione della somma.
Per il punto 2, sostituisci $1$ a $k$; e fai i conti, ma da quello che ti ho scritto sopra non dovresti avere difficoltà a trovare una base.
Per il punto 3 ( poiché si parla di unione insiemistica e non di spazio generato dalla somma ) si tratta di vedere per quali $t$ il vettore $v_t$ sta in $U$ e per quali in $W_1$.
\[
W_k=Span_{\mathbb{R}}\Big\{(0,1,0,0);(k,0,3,0);(0,0,0,1) \Big\},
\] che ha dimensione $3$, indipendentemente dal valore di $k$.
Però l'esercizio ti chiede di determinarti gli spazi $U\capW_k$ e $U+W_k$ in funzione del parametro $k$.
Innanzitutto ti faccio osservare che il vettore $(3,0,1,0) \in U$ è multiplo del vettore $(k,0,3,0)$ se $k=9$; infatti
\[ 3\cdot (3,0,1,0)=(9,0,3,0),
\] mentre il vettore $(3,1,1,2)$ è combinazione lineare dei tre vettori che generano $W_9$; pertanto puoi concludere che per $k=9$ $U\capW_k=U$; e la somma....( con un ragionamento analogo vedi subito chi è ) e dunque sai già chi sono le dimensioni.
Se $k\ne9$ osservi che $(k,0,3,0)$ non è più multiplo di $(3,0,1,0)$; però i vettori della forma $h(3,1,1,2)-h(3,0,1,0)$ di $U$, per ogni $h \in \mathbb{R}$, sono anche vettori di $W_k$. Pertano la dimensione dell'intersezione è $1$ e con la regola di Grassman puoi trovare la dimensione della somma.
Per il punto 2, sostituisci $1$ a $k$; e fai i conti, ma da quello che ti ho scritto sopra non dovresti avere difficoltà a trovare una base.
Per il punto 3 ( poiché si parla di unione insiemistica e non di spazio generato dalla somma ) si tratta di vedere per quali $t$ il vettore $v_t$ sta in $U$ e per quali in $W_1$.
Ho capito da solo....sfruttando la formula di Grassman:
$dim(U \cap W_k) = dimU+dimW_k - dim(U+W_k)$.
Quindi poichè so che $dimU = 2$ e la $dimW_k = 3 \forall k$ devo semplicemente fare in modo che $dim(U+W_k)$ sia uguale a 4, ovvero che la matrice associata ai vettori di $U$ e $W_k$ abbia RANGO = 4. Almeno per la prima parte dell'esercizio.
$dim(U \cap W_k) = dimU+dimW_k - dim(U+W_k)$.
Quindi poichè so che $dimU = 2$ e la $dimW_k = 3 \forall k$ devo semplicemente fare in modo che $dim(U+W_k)$ sia uguale a 4, ovvero che la matrice associata ai vettori di $U$ e $W_k$ abbia RANGO = 4. Almeno per la prima parte dell'esercizio.
"FrecciaRossa":
Allora ok la prima parte, infatti lo spazio ( il secondo vettore lo prendo multiplo di quello che hai scelto tu per non portarmi in giro frazioni )
\[
W_k=Span_{\mathbb{R}}\Big\{(0,1,0,0);(k,0,3,0);(0,0,0,1) \Big\},
\] che ha dimensione $3$, indipendentemente dal valore di $k$.
Però l'esercizio ti chiede di determinarti gli spazi $U\capW_k$ e $U+W_k$ in funzione del parametro $k$.
Innanzitutto ti faccio osservare che il vettore $(3,0,1,0) \in U$ è multiplo del vettore $(k,0,3,0)$ se $k=9$; infatti
\[ 3\cdot (3,0,1,0)=(9,0,3,0),
\] mentre il vettore $(3,1,1,2)$ è combinazione lineare dei tre vettori che generano $W_9$; pertanto puoi concludere che per $k=9$ $U\capW_k=U$; e la somma....( con un ragionamento analogo vedi subito chi è ) e dunque sai già chi sono le dimensioni.
Se $k\ne9$ osservi che $(k,0,3,0)$ non è più multiplo di $(3,0,1,0)$; però i vettori della forma $h(3,1,1,2)-h(3,0,1,0)$ di $U$, per ogni $h \in \mathbb{R}$, sono anche vettori di $W_k$. Pertano la dimensione dell'intersezione è $1$ e con la regola di Grassman puoi trovare la dimensione della somma.
Per il punto 2, sostituisci $1$ a $k$; e fai i conti, ma da quello che ti ho scritto sopra non dovresti avere difficoltà a trovare una base.
Per il punto 3 ( poiché si parla di unione insiemistica e non di spazio generato dalla somma ) si tratta di vedere per quali $t$ il vettore $v_t$ sta in $U$ e per quali in $W_1$.
Ho letto adesso e ti ringrazio.. Dal ragionamento che ho fatto un minuto fa (non avendo letto ancora la tua risposta) sono arrivato proprio alla conclusione che se $k = 9$ allora $rg(A)$ (dove A è la matrice associata ai vettori dei due sottospazi) $ = 4$ quindi $dim(U \cap W_k) = 3+2-4 = 1$. Grazie mille per l'aiuto.
Aspetta, se $k=9$ la matrice ha rango $3$; in tutti gli altri casi ha rango $4$.
eeeeh si mi sono imbrogliato! 
Volevo dire quello! ^^
Volevo dire quello! ^^
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