Dipendenza lineare e nucleo
Ciao! Qualcuno mi può aiutare a dimostrare questa proposizione?
"Dimostrare che L trasforma famiglie di vettori linearmente indipendenti in famiglie di vettori linearmente dipendenti se, e solo se, $ker(L)={0_v}$".
Per la prima parte avevo pensato che come ipotesi ho:
$v_1, ..., v_n$ sono vettori linearmente indipendenti
$L(v_1), ..., L(v_n)$ sono linearmente dipendenti
e come tesi $ker(L)={0_v}$
Quindi $EE$ gli scalari $x_1, ... x_n$ tutti nulli tale che $x_1*v_1 + ... + x_n*v_n = 0$.
Passando alle immagini mediante L, esistono gli scalari $a_1, ... a_n$ non tutti nulli tale che $a_1*L(v_1) + ... + a_n*L(v_n) = 0$ e per linearità si può scrivere $L(a_1*v_1 + ... + a_n*v_n)=0$. Quindi $a_1*v_1 + ... + a_n*v_n in ker(L)$ ma essendo $v_1, ..., v_n$ linearmente indipendenti, non esiste altro vettore oltre a quello nullo in ker(L).
Per la seconda parte le mie ipotesi sono: $ker(L)={0_v}$ e $v_1, ..., v_n$ sono vettori linearmente indipendenti.
Avevo pensato di dimostrarla per assurdo, in contrapposizione alla prima parte.. solo che non mi convince molto come dimostrazione
Qualcuno può aiutarmi? Grazie!
"Dimostrare che L trasforma famiglie di vettori linearmente indipendenti in famiglie di vettori linearmente dipendenti se, e solo se, $ker(L)={0_v}$".
Per la prima parte avevo pensato che come ipotesi ho:
$v_1, ..., v_n$ sono vettori linearmente indipendenti
$L(v_1), ..., L(v_n)$ sono linearmente dipendenti
e come tesi $ker(L)={0_v}$
Quindi $EE$ gli scalari $x_1, ... x_n$ tutti nulli tale che $x_1*v_1 + ... + x_n*v_n = 0$.
Passando alle immagini mediante L, esistono gli scalari $a_1, ... a_n$ non tutti nulli tale che $a_1*L(v_1) + ... + a_n*L(v_n) = 0$ e per linearità si può scrivere $L(a_1*v_1 + ... + a_n*v_n)=0$. Quindi $a_1*v_1 + ... + a_n*v_n in ker(L)$ ma essendo $v_1, ..., v_n$ linearmente indipendenti, non esiste altro vettore oltre a quello nullo in ker(L).
Per la seconda parte le mie ipotesi sono: $ker(L)={0_v}$ e $v_1, ..., v_n$ sono vettori linearmente indipendenti.
Avevo pensato di dimostrarla per assurdo, in contrapposizione alla prima parte.. solo che non mi convince molto come dimostrazione
Qualcuno può aiutarmi? Grazie!
Risposte
nell'enunciato c'è un errore perchè L trasforma vettori indipendenti in vettori indipendenti
Ops.. Grazie!! Allora la dimostrazione diventa:
Siano $v_1, ... , v_n$ linearmente indipendenti, allora $x_1, ..., x_n$ sono tutti nulli e passando alle immagini mediante L e per linearità $L(x_1*v_1+ ... x_n*v_n) = 0$, quindi non esistono altri vettori in kerL oltre a quello nullo.
Ha senso?
"alexis9":
Ha senso?
a dir la verità,non molto
1)supponiamo per ipotesi che $kerf={0}$ e $v_1,...,v_n$ linearmente indipendenti e supponiamo inoltre che $alpha_1f(v_1)+...+alpha_nf(v_n)=0$
allora,$f(alpha_1v_1+..alpha_nv_n)=0$ il che implica $alpha_1v_1+alpha_nv_n=0$,il che implica $alpha_1=..alpha_n=0$
2)per il viceversa ,se consideri una base di $V$ ,le immagini dei suoi vettori sono linearmente indipendenti
quindi,$dimV=dimImf$
dalla relazione $dimV=dimkerf+dimImf$ si ha la tesi
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