1-forme sulla sfera
Ciao, secondo voi le $1$-forme sulla sfera sono tutte esatte?
Secondo wikipedia $ H_{dR}^1(S\^2)=0\Leftrightarrow$ semplicemente connesso $\Leftrightarrow$ tutte le $1$-forme sono esatte.
Qualcuno ha qualche idea in merito?
Se la prima parte fosse vera potrei dimostrare che questa 2-forma $\omega=xdydz-ydzdy+zdxdy$ su $S\^2$ non è esatta perchè non esistono $1$-forme non esatte $\Rightarrow \forall \eta \in \Lambda\^1(S\^2),\ d\eta=0$.
($\Lambda\^1(S\^2)$ è l'insieme delle $1$-forme)
Secondo wikipedia $ H_{dR}^1(S\^2)=0\Leftrightarrow$ semplicemente connesso $\Leftrightarrow$ tutte le $1$-forme sono esatte.
Qualcuno ha qualche idea in merito?
Se la prima parte fosse vera potrei dimostrare che questa 2-forma $\omega=xdydz-ydzdy+zdxdy$ su $S\^2$ non è esatta perchè non esistono $1$-forme non esatte $\Rightarrow \forall \eta \in \Lambda\^1(S\^2),\ d\eta=0$.
($\Lambda\^1(S\^2)$ è l'insieme delle $1$-forme)
Risposte
"Arturow":Attenzione alle ipotesi!
Ciao, secondo voi le $ 1 $-forme chiuse sulla sfera sono tutte esatte?
Secondo wikipedia $ H_{dR}^1(S\^2)=0\Leftrightarrow $ semplicemente connesso $ \Leftrightarrow $ tutte le $ 1 $-forme chiuse sono esatte...
esatta $\Rightarrow$ chiusa è ok, e anche viceversa perchè $H_{dr}^1(S^2)=0$ ma io cercavo quacosa di più per dimostrare in modo elegante.
http://it.wikipedia.org/wiki/Campo_vett ... nservativo
"Inoltre, il dominio è semplicemente connesso se e solo se il suo primo gruppo di omologia ed il primo gruppo di coomologia di De Rham $H_{dR}^{1}$ è $0$ se e solo se tutte le $1$-forme sono esatte."
forse ho inteso male, ma se questa ipotesi va scartata hai altre idee?
http://it.wikipedia.org/wiki/Campo_vett ... nservativo
"Inoltre, il dominio è semplicemente connesso se e solo se il suo primo gruppo di omologia ed il primo gruppo di coomologia di De Rham $H_{dR}^{1}$ è $0$ se e solo se tutte le $1$-forme sono esatte."
forse ho inteso male, ma se questa ipotesi va scartata hai altre idee?
Dimostrare cosa? Che quella \(\displaystyle2\)-forma su \(\displaystyle\mathbb{S}^2\) non è esatta?
si, se avessi un suggerimento sti sarei grato.
Calcola:
\[
\int_{\mathbb{S}^2}\omega
\]
\[
\int_{\mathbb{S}^2}\omega
\]
"Arturow":
"Inoltre, il dominio è semplicemente connesso se e solo se il suo primo gruppo di omologia ed il primo gruppo di coomologia di De Rham $H_{dR}^{1}$ è $0$ se e solo se tutte le $1$-forme sono esatte."
forse ho inteso male, ma se questa ipotesi va scartata hai altre idee?
E' semplicemente sbagliata questa citazione. Mica tutte le 1 forme sono esatte, anche sui domini semplicemente connessi. Questo avviene solo nel caso banale di \(\mathbb{R}\), credo. Ma questo non è strano, su \(\mathbb{R}\) tutte le 1-forme sono chiuse.
Io penso che la tua 2-forma sia esatta e la dimostrazione è soft. Sei infatti su una varietà di dimensione 2, quindi tutte le 2-forme sono chiuse. Eccetera.
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