Retta simmetrica, esercizio con errore?
mi viene il dubbio che sul testo di questo esercizio ci sia un errore.
Si consideri il piano (pigreco) e la retta (r) di equazioni:
$x+y-2=0$
e
${ ( x+2y+z=2 ),( x-y-3z=1 ):}$
devo trovare una equazione della retta (s) simmetrica alla retta r rispetto al piano.
allora a prima vista mi sorge un dubbio.
quel piano siamo sicuri sia un piano? a me sembra più una retta.
secondo me chi ha scritto il testo ha commesso un errore nel scrivere quel 2, secondo me doveva essere una Z.
o sbaglio?
ad ogni modo come potrei risolvere questo esercizio?
grazie
Si consideri il piano (pigreco) e la retta (r) di equazioni:
$x+y-2=0$
e
${ ( x+2y+z=2 ),( x-y-3z=1 ):}$
devo trovare una equazione della retta (s) simmetrica alla retta r rispetto al piano.
allora a prima vista mi sorge un dubbio.
quel piano siamo sicuri sia un piano? a me sembra più una retta.
secondo me chi ha scritto il testo ha commesso un errore nel scrivere quel 2, secondo me doveva essere una Z.
o sbaglio?
ad ogni modo come potrei risolvere questo esercizio?
grazie
Risposte
E' un piano, non farti ingannare dal fatto che non compaiono tutte e tre le variabili. In generale, un luogo di punti nello spazio descritto da una sola equazione lineare e' un piano.
Ad esempio $z=0$ e' un piano (i punti a quota nulla, ovvero il piano cui appartengono gli assi x e y), anche se compare solo la $z$ nell'equazione.
Ad esempio $z=0$ e' un piano (i punti a quota nulla, ovvero il piano cui appartengono gli assi x e y), anche se compare solo la $z$ nell'equazione.
ma se io trovo un po di punti che annullano quel equazione e li unisco tra di loro. trovo una retta.
faccio fatica a comprendere questa cosa. scusate.
facciamo finta di aver capito che è un piano. ho fatto un sistema tra le 3 equazioni e trovo il punto di intersezione del piano con la retta r. ora come faccio a trovare la retta s simmetrica a r?
faccio fatica a comprendere questa cosa. scusate.
facciamo finta di aver capito che è un piano. ho fatto un sistema tra le 3 equazioni e trovo il punto di intersezione del piano con la retta r. ora come faccio a trovare la retta s simmetrica a r?
Tieni presente che sei in uno spazio a tre dimensioni, quindi quella che ti sembra una retta $y=-x+2$ è in realtà un piano: considera l'equazione parametrica del piano $pi$, ovvero
$((x),(y),(z))=((0),(2),(0)) + t*((1),(-1),(0)) + s*((0),(0),(1))$
ti accorgi subito che è un piano, perché hai due parametri $t$ e $s$ che identificano due direzioni linearmente indipendenti fra loro.
A questo punto, sapendo che una retta è univocamente determinata da due punti, ti calcoli le coordinate dei simmetrici di due punti a piacere della retta data rispetto al piano (magari non il punto di intersezione col piano, visto che rimane fisso) e poi calcoli l'equazione della retta passante per i due punti simmetrici. Prova così
$((x),(y),(z))=((0),(2),(0)) + t*((1),(-1),(0)) + s*((0),(0),(1))$
ti accorgi subito che è un piano, perché hai due parametri $t$ e $s$ che identificano due direzioni linearmente indipendenti fra loro.
A questo punto, sapendo che una retta è univocamente determinata da due punti, ti calcoli le coordinate dei simmetrici di due punti a piacere della retta data rispetto al piano (magari non il punto di intersezione col piano, visto che rimane fisso) e poi calcoli l'equazione della retta passante per i due punti simmetrici. Prova così
ok ho capito il discorso piano.
e ho trovato il punto di intersezione tra piano e retta. $(3,-1,1)$
della retta inoltre so il vettore direzione. $(-5/3,4/3,-1)$
come dovrei fare per trovare la retta simmetrica al piano?
e ho trovato il punto di intersezione tra piano e retta. $(3,-1,1)$
della retta inoltre so il vettore direzione. $(-5/3,4/3,-1)$
come dovrei fare per trovare la retta simmetrica al piano?
Secondo me la via più semplice (anche se non troppo brillante) sarebbe quella di prendere due punti a caso della tua retta e calcolarne i rispettivi simmetrici. A quel punto ti calcoli l'equazione dell'unica retta passante per i punti appena trovati.
Ok ma il simmetrico di un punto come si trova?
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