Verificare se applicazione lineare è isomorfismo

[EveyH]

Ciao. Devo verificare che queste applicazioni lineari siano o meno un isomorfismo:

1) L: R^3-->R^3, L(x,y,z)=(z,y,x)
2) L: R^3-->R^2, L(x,y,z)=(7x-5z,x+4y)
3) L: R^3-->R^3 tale che L(1,0,0)=(2,0,0), L(0,1,0)=(2,1,0), L(0,0,1)=(2,1,6)

Dunque io so che un'applicazione lineare è un isomorfismo se invertibile, cioè se è iniettiva e suriettiva.
Inoltre è inettiva se Ker(L)={0}, suriettiva se Im(L)=codominio.
Quindi per risolvere dovrei verificare l'iniettività e la suriettività.
Nel caso 2) posso concludere che non si tratta di un isomorfismo perché la dimensione del dominio è > della dimensione del codominio quindi l'applicazione non è iniettiva, pertanto non è nemmeno un isomorfismo. Giusto?
Ma per il caso 1 e 3, mi fareste vedere i passaggi per risolvere?
Grazie!

[garnak.olegovitc1]

"EveyH":
Dunque io so che un'applicazione lineare è un isomorfismo se invertibile, cioè se è iniettiva e suriettiva.
Inoltre è inettiva se Ker(L)={0}, suriettiva se Im(L)=codominio.
Quindi per risolvere dovrei verificare l'iniettività e la suriettività.

si esatto!

"EveyH":
Nel caso 2) posso concludere che non si tratta di un isomorfismo perché la dimensione del dominio è > della dimensione del codominio quindi l'applicazione non è iniettiva, pertanto non è nemmeno un isomorfismo. Giusto?

non direi, tu hai l'omomorfismo: $$L: \Bbb{R}^3 \to \Bbb{R}^2,\; L(x,y,z)=(7x-5z,x+4y)$$ come fai a dedurre da \( \dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3) > \dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^2)\) che \(L\) non è un isomorfismo? Quanto avevi detto prima, sul \(\ker(L)\) e sulla \(\operatorname{im}(L)\), è valido anche per il caso 2...

HINT: Fai così*, valuta solo il \(\ker(L)\), ti calcoli la dimensione del nucleo e sfruttando il teorema del rango ti ricavi la dimensione della \(\operatorname{L}\), alla fine dedurre se è isomorfismo diventa semplicissimo!

p.s.= Visto che ancora non usi bene la codifica, ti scrivo le tue applicazioni lineari in LaTex:

1) - \( L: \Bbb{R}^3 \to \Bbb{R}^3, \; L(x,y,z)=(z,y,x)\)
2) - \( L: \Bbb{R}^3 \to \Bbb{R}^2, \; L(x,y,z)=(7x-5z,x+4y)\)
3) - \( L: \Bbb{R}^3 \to \Bbb{R}^3, \; L(1,0,0)=(2,0,0), \; L(0,1,0)=(2,1,0), \; L(0,0,1)=(2,1,6)\)

[size=85]*ci sono altri modi, tanto per cominciare[/size]

[EveyH]

"garnak.olegovitc":
non direi, tu hai l'omomorfismo: $$L: \Bbb{R}^3 \to \Bbb{R}^2,\; L(x,y,z)=(7x-5z,x+4y)$$ come fai a dedurre da \( \dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3) > \dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^2)\) che \(L\) non è un isomorfismo? Quanto avevi detto prima, sul \(\ker(L)\) e sulla \(\operatorname{im}(L)\), è valido anche per il caso 2...

perché nelle dispense della prof ho questa proposizione:
Siano V e W due spazi vettoriali.
1. Se dim V > dim W non esistono applicazioni lineari iniettive da V in W.
2. Se dim V < dim W non esistono applicazioni lineari suriettive da V in W.

Per cui essendo $R^3$ dim.3 > $R^2$ dim.2 non può esserci un'applicazione lineare iniettiva da $R^3$ a $R^2$, e dato che nel caso 2) siamo proprio in questo frangente L non è iniettiva dunque non può essere un isomorfismo.
Cosa c'è di sbagliato in questo ragionamento?

HINT: Fai così*, valuta solo il \(\ker(L)\), ti calcoli la dimensione del nucleo e sfruttando il teorema del rango ti ricavi la dimensione della \(\operatorname{L}\), alla fine dedurre se è isomorfismo diventa semplicissimo!

al teorema del rango non sono ancora arrivata

Grazie!

[garnak.olegovitc1]

"EveyH":

perché nelle dispense della prof ho questa proposizione:
Siano V e W due spazi vettoriali.
1. Se dim V > dim W non esistono applicazioni lineari iniettive da V in W.
2. Se dim V < dim W non esistono applicazioni lineari suriettive da V in W.

Per cui essendo $R^3$ dim.3 > $R^2$ dim.2 non può esserci un'applicazione lineare iniettiva da $R^3$ a $R^2$, e dato che nel caso 2) siamo proprio in questo frangente L non è iniettiva dunque non può essere un isomorfismo.
Cosa c'è di sbagliato in questo ragionamento?

figurati, non ho mai detto che era errato, il mio condizionale era d'obbligo, non ricordo bene se ho mai incontrato quelle proposizioni, e in effetti mi riferivo proprio ad una motivazione da parte tua di questo tipo quando dicevo "..come fai a dedurre..?" Se il tuo docente ha dimostrato quelle prop. (appena ho tempo spero di verificarle) allora procedi bene... io mi lavo le mani kein problem!

[EveyH]

Sì l'ha dimostrato. Se $L: V->W$ è un'app. lineare iniettiva allora $dim(kerL)=0$ e dunque $dimV=dim(ImL)$. Essendo $ImL$ un sottospazio di $W$ risulta che $dim V <= dim W$.
Quanto al resto, non ho ancora capito come fare

[garnak.olegovitc1]

@EveyH,
partiamo dall'omomorfismo del punto 1), mi sai dire chi sono i vettori \((x,y,z) \in \operatorname{dom}(L)\) tale che \(L((x,y,z))=(0,0,0)\)?

[EveyH]

Ovviamente solo (0,0,0). Ma qui è piuttosto facile...
Anche nella 3 è così?
Cioè in un'applicazione che mi "trasforma" (1,0,0) in (2,0,0) etc. soltanto lo (0,0,0) va nello (0,0,0)...o no?
Quindi entrambe hanno solo il nucleo banale?
(non ho ancora affrontato il concetto di omomorfismo)

[garnak.olegovitc1]

"EveyH":
(non ho ancora affrontato il concetto di omomorfismo)

un omomorfismo per me, in algebra lineare, è sinonimo di "applicazione lineare"...

nel caso 1) è il solo vettore \( \Bbb{R}^3 \ni (0,0,0) \in \ker(L)\) perchè hai già l'immagine tramite \(L\) di un generico vettore del dominio.. e il calcolo degli elementi del \(\ker(L)\) diventa banalissimo!!
nel caso 3) hai le immagini, tramite \(L\), dei vettori della base canonica di \( \Bbb{R}^3\), per avere l'immagine tramite \(L\) di un generico vettore \((x,y,z)\) devi prendere quest'ultimo, esprimerlo tramite la base canonica e successivamente valutare l'immagine di esso, vedrai che essendo \(L\) applicazione lineare vi saranno "alcune trasformazioni" seguite da alcune sostituzioni, alla fine per cercare gli elementi del \(\ker(L)\) ti basta porre l'immagine uguale a "zero" e risolvere il sistema lineare come più ti pare e piace...