Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Come da titolo, come si dimostra che una funzione $ f:mathbb(R^n)rarr mathbb(R^n) $ affinità fra due sottospazi affini è un omeomorfismo se nel dominio e nel codominio c'è la topologia naturale?
Per defininizione è biettiva, devo dimostrare solo che è continua dato che l'inversa di un'affinità è un'affinità.
Salve, mi sto bloccando su questo tipo di esercizi sulle matrici associate:
Sia $ f: RR^3-> RR^3 $ definita da
$ f (x, y, z) = (8x-9y,6x-7y,2x-3y-z) $
Sia $ B= (-e1+e2,-2e1+3e2,-e3) $ si determini la matrice associata rispetto alla base canonica e la matrice $ A_b $ associata ad F rispetto alla base B.
rispetto alla base canonica secondo me viene $ ( (8,-9,0) , (6,-7,0) , (2,-3,-1) ) $ , mentre sul secondo punto non so come fare per trovare l associata rispetto a B!
salve a tutti pochi giorni fa ho svolto l'esame di geometria ed in particolare c'era un esercizio che trattava geometria dello spazio e non sono riuscito a farlo. Ho provato a risolverlo in qualche modo ma senza nessun risultato.
il testo era :
"Nello spazio R^3, in cui sia fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto P(1, −1, 0),
il piano π : 2x + y − 3 = 0 e la retta r : $\{(x + 2y - z = 0),(2y + z + 1 = 0):}$
Si determinino le posizioni reciproche del punto P, della retta r, e del piano π. Si ...
Salve ragazzi, avrei un problema su come svolgere un esercizio riguardando l'ortogonalità.
L'esercizio mi chiede sia W = {(x,y,z) elemento di R^3: x+y-3z=0, x-y+z=0}.
Determinare W ortogonale, Avremo quindi:
W={(x,y,z) : z=x, y=2x} = [(1,2,1)].
quindi avremo(1,2,1) una base e per determinare l'ortogonalità di W devo trovare tutti i vettori ortogonali alla base(1,2,1). quindi:
W(ortogonale) = {(x,y,z) elemento di R^3: = 0} = {(x,y,z) : x+2y+z=0} ho posto z= -x-2y e quindi ...
salve, io tra pochi giorni ho l'esame di matematica e mi blocco su questo tipo di esercizi qualcuno potrebbe aiutarmi.
Sia f:R^3 $ rarr $ R^3 l'applicazione lineare definita da
f ( ( x1 ),( x2 ),( x3 ) ) $ = ( ( x1 , +x2 , -x3 ),( , 2x2 , -x3 ),( 2x1 , , -x3) ) $
-scrive la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica di R3 nel dominio e nel codominio
- determinare se f sia diagonalizzabile
grazie mille di cuore...
$ text(M){::}_(\ \ E3)^(A)= ( ( 2 , 2 , 0 ),( 3 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 3 ) ) $ Sia $f : R^3 → R^3$ l’endomorfismo definito, rispetto le basi canoniche, dalle equazioni
$f (x, y, z) = (x + y + z, x + y − z, 2x + y + z)$.
Determinare $ text(M){::}_(\ \ f)^(A,E3) $ , essendo $A = [v 1 = (2, 3, 1), v 2 = (2, 0, 1), v 3 = (0, 0, 3)]$ ed $E3$ la
base canonica.
Questo è il testo dell'esercizio, io ho provato a risolverlo così:
Trovo la matrice associata all'endomorfismo:
$ text(C){::}_(\ \ E3)=( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , -1 ),( 2 , 1 , 1 ) ) $
Successivamente:
$ text(M){::}_(\ \ E3)^(A)= ( ( 2 , 2 , 0 ),( 3 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 3 ) ) $
Infine:
$ text(M){::}_(\ \ A)^(E3)=(text(M){::}_(\ \ E3)^(A))^-1= ( ( 0 , -9 , 3 ),( -6 , 6 , -3 ),( 0 , 0,6)) $
È corretta come soluzione? Non so perché ma l'inversa non mi ...
Salve a tutti,
volevo chiedervi, quale fosse il procedimento giusto e il ragionamento nel poter svolgere questo esercizio :
Sia B = {i,j,k} una base ortonormale positiva, determinare la matrice associata rispetto a tale base all'applicazione
\(\displaystyle T(v) = v ∧ (i+2j) +10v ·(i-k)k \)
e determinarne autovalori e autovettori.
il problema è nella "lettura" dell'applicazione per poi determinare la matrice richiesta... quale approccio dovrei utilizzare ?
Grazie in anticipo.
Salve a tutti, dovrei risolvere questo esercizio...
Sia $w_1 ... w_m$ una base del sottospazio $W$ di $V$ e sia $w_1 ... w_m, v_1 ... v_r$ un prolungamento a una base di $V$. Dimostrare che $[v_1] ... [v_r]$ è una base dello spazio quoziente $V|W$.
Lo so che dovrei postare un mio tentativo di risoluzione, ma proprio non saprei da dove iniziare... so solo che per essere una base dello spazio quoziente quei vettori devono generare lo spazio ...
Ciao, qualcuno può aiutarmi con questo problema per favore?
Sia data $A$ matrice quadrata $n$ x $n$ con $n > 1$, di rango 1, a coefficienti in un campo $K$.
Provare che $A$ è diagonalizzabile se e solo se $TrA != 0$.
___
La traccia di una matrice è la somma degli elementi della diagonale, ma anche la somma degli autovalori, giusto? però non so come dimostrare ciò che chiede.
Grazie
Buonasera!
Sono alle prese con una dimostrazione di una Relazione di Equivalenza (è molto banale, lo so, ma ho problemi ad arrivarci da solo :/ ).
Sia $n in NN - {0, 1}$. La relazione
$Rn = {(a, b) in ZZ xx ZZ : n | a -b}$ è una relazione di equivalenza su $ZZ$.
Benissimo, sappiamo che una relazione è di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva. E io mi blocco già alla riflessività
Ho provato con
$(AA a in NN) (a, a) in Rn rArr (EE h in NN$ tale che $n * h | a-a) rArr (n * h | 0)$
Però arrivando allo n * h divide 0 mi viene un ...
Ciao a tutti,
spero di non aver sbagliato a scrivere in questa sezione.
E' da una settimana che ci ragiono e non riesco a trovare la soluzione per questo sistema parametrico:
$ { ( x - y + 2z = alpha ),( 2x + y + alpha z = -1),( x + z = 3 ),( alphax -alpha^2y+ 2 alphaz = 2 alpha ):} $
Ricavo la matrice completa del sistema con l'ultima colonna con i termini noti:
$ ( ( 1 , -1 , 2 , alpha ),( 2 , 1 , alpha , -1),( 1 , 0 , 1 , 3 ),( alpha , -alpha^2 , 2alpha , 2alpha ) ) $
Ho provato a semplificare la matrice con il metodo di Gauss Jordan, ma non ho capito come si fa e mi sono bloccata.
Per favore c'è qualcuno che potrebbe aiutarmi e sa un metodo più facile per ...
Buon pomeriggio ragazzi, ho fatto l'esercizio in oggetto, e volevo una vostra opinione sulla correttezza di esso. I passaggi sono abbastanza lunghi, quindi ho deciso di allegare l'immagine dello svolgimento dell'esercizio sperando che sia chiaro. Grazie anticipatamente a tutti voi
EDIT CONTROLLATE IL TERZO POST
ciao a tutti, sto cercando i punti stazionari di f(x,y,z): il metodo che devo applicare è quello dei minori principali di guida (MPG). Quello che non capisco è come classificare i punti stazionari in base al segno dei minori principali di guida. in particolare ho:
[tex]f(x,y,z)=xy-2x^2-x-y-y^2-z^2+xz[/tex] calcolo il differenziale e lo pongo uguale a 0 per trovare gli eventuali punti stazionari, da cui risulta un unico punto stazionario di coordinate [tex]P(\frac{2}{9}, -\frac{7}{18}, ...
Buon pomeriggio ragazzi, stavo svolgendo il seguente esercizio:
Sia$ f : R^2 → R^3$ l’applicazione lineare definita, rispetto le basi canoniche, dall’equazione $f (x, y) = (x + 2y, 2x, 3x + y)$ Determinare
$ Ker f , Imf ,$ le loro eventuali basi ed equazioni;
Questo è il mio procedimento:
Matrice associata:
$ A=( ( 1 , 2 ),( 2 , 0 ),( 3 , 1 ) )rarr ( ( 1 , 2 ),( 2 , 0 ),( 5 , 0 ) ) $ quest'ultima matrice ha $r(a)=2$
$Dim Imf=3, Dim Kerf = 1$
per trovare l'equazione e le basi metto a sistema la matrice $A$:
$ { ( x+2y=0 ),( 2x=0 ),( 5x=0 ):} $ Da qui avremo che ...
Salve ragazzi, avrei bisogno di un vostro aiuto per capire come poter svolgere un'esercizio..
L'esercizio mi dice: sia f: R^4 --> R^2 con matrice associata A = prima riga(1 0 0 1) seconda riga(-1 1 2 -1), rispetto alle basi:
B= {(1,1,0,0),(1,0,0,0),(2,0,0,1),(0,0,1,0)} compresa in R^4 e B' ={(1,1), (1,0) }.
Vorrei sapere come faccio a esprimere i vettori della base canonica di R^4 rispetto alla base B. So che i vettori canonici in questo caso sono (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).
Non ...
Ciao a tutti qualcuno può aiutarmi con questo esercizio per favore? Grazie
Sia data l'applicaizone $\varphi : RR^2$ X $RR^2 -> RR$ definita
$\varphi (x,y) = (2-h)x_1 y_1 +kx_1 y_2 -k^3 x_2y_1 + (4-h^2)x_2 y_2$
1)Stabilire per quali valori reali di $h$ e $k$ $\varphi$ è un prodotto scalare definito positivo;
2)Trovare per h=1 l'aggiunto dell'endomorfismo di $RR^2 f(z,t)=(-t,2z+3t)$ rispetto al prodotto scalare precedente.
____
1) Se non sbaglio un prodotto scalare è definito positivo quando tutti i suoi ...
Salve a tutti, vorrei chiedervi se potete risolvermi questo esercizio dato che non ho i risultati nel mio libro di algebra lineare e geometria cartesiana:
Determinare per quali valori del parametro reale $\lambda$ la seguente matrice è invertibile:
$((\lambda-1,0,\lambda-1),(1,\lambda-1,2),(1,-1,\lambda+2))$
Io l'ho risolta così (ditemi se va bene o se devo modificare ...
Buonasera!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio: considerato il sottoinsieme $W={(x, y, z) | x − 2y + 2z = 1} ⊂ R^3$, si determini il vettore $w∈ W$ di norma minima.
Allora ho trovato una base di $W=<(3,1,0),(-1,0,1)>$ e so che dal Teorema della proiezione ortogonale la norma di $v-w$ ha uno ed un solo punto di minimo che è la proiezione di v su w $p_w(v)$.
Qualcuno può dirmi se è corretto e magari aiutarmi con i conti? Grazie mille
Buongiorno a tutti,
Ho un dubbio che riguarda le hat functions (funzioni a cappello che valgono 1 nel nodo considerato del dominio discretizzato e 0 in tutti gli altri).
Leggo dalla teoria che queste funzioni sono le basi di uno spazio vettoriale (di cardinalità uguale al numero dei nodi in cui si è discretizzato il dominio) composto da funzioni di classe C0 nel dominio, lineari in ogni intervallo in cui si è suddiviso lo stesso e nulle agli estremi dell'intero dominio.
Ora mi chiedo: essendo ...
Buongiorno a tutti,
Ho un dubbio che riguarda le hat functions (funzioni a cappello che valgono 1 nel nodo considerato del dominio discretizzato e 0 in tutti gli altri).
Leggo dalla teoria che queste funzioni sono le basi di uno spazio vettoriale (di cardinalità uguale al numero dei nodi in cui si è discretizzato il dominio) composto da funzioni di classe C0 nel dominio, lineari in ogni intervallo in cui si è suddiviso lo stesso e nulle agli estremi dell'intero dominio.
Ora mi chiedo: essendo ...
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