Dubbi su un esercizio d'esame di geometria
salve a tutti pochi giorni fa ho svolto l'esame di geometria ed in particolare c'era un esercizio che trattava geometria dello spazio e non sono riuscito a farlo. Ho provato a risolverlo in qualche modo ma senza nessun risultato.
il testo era :
"Nello spazio R^3, in cui sia fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto P(1, −1, 0),
il piano π : 2x + y − 3 = 0 e la retta r : $\{(x + 2y - z = 0),(2y + z + 1 = 0):}$
Si determinino le posizioni reciproche del punto P, della retta r, e del piano π. Si determini una rappresentazione cartesiana e una parametrica dell piano π' tale che π' ⊥ π, P ∈ π' e π ∩ r ⊆ π' "
Io ho provato a risolverlo scrivendo l'equazione parametrica della retta ma mi sono bloccato in quanto non sapevo come ricavare i parametri.
mi potreste spiegare in che modo bisogna approcciare questo esercizio ?
grazie mille
il testo era :
"Nello spazio R^3, in cui sia fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto P(1, −1, 0),
il piano π : 2x + y − 3 = 0 e la retta r : $\{(x + 2y - z = 0),(2y + z + 1 = 0):}$
Si determinino le posizioni reciproche del punto P, della retta r, e del piano π. Si determini una rappresentazione cartesiana e una parametrica dell piano π' tale che π' ⊥ π, P ∈ π' e π ∩ r ⊆ π' "
Io ho provato a risolverlo scrivendo l'equazione parametrica della retta ma mi sono bloccato in quanto non sapevo come ricavare i parametri.
mi potreste spiegare in che modo bisogna approcciare questo esercizio ?
grazie mille
Risposte
Perché non hai usato le formule anche per il resto? In futuro fatto.
Affinché \(\displaystyle \pi'\perp\pi \) si deve avere che \(\displaystyle \mathbf{w} = (2,1,-3) \) (il vettore ortogonale al piano \(\displaystyle \pi \)) sia parallelo a \(\displaystyle \pi \). Hai inoltre che \(\displaystyle P\in\pi' \), quindi ti manca ancora una condizione. Il fatto che \(\displaystyle \pi\cap r\subseteq \pi' \) farà verosimilmente il resto.
Il sistema è
\(\displaystyle \begin{cases} x+2y-1 = 0 \\
2y+z+1 = 0 \\
2x + y - 3 = 0
\end{cases} \)
siccome \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix} \) è una matrice invertibile, l'unica soluzione è \(\displaystyle O = (0,0,0) \).
La rappresentazione cartesiana è data da \(\displaystyle (x,y,z)\cdot \bigl[ (2,1,-3)\times (P - O) \bigr] = 0\) dove ho usato \(\displaystyle \cdot \) per il prodotto scalare (io non uso in genere quella notazione ma immagino ti sia più congegnale). Insomma è data da \(\displaystyle \det\begin{pmatrix} x & y & z \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = 0 \).
La rappresentazione parametrica è invece data da \(\displaystyle \begin{cases} x &= 2u + v \\ y &= u -v \\ z &= -3u \end{cases}. \) Insomma \(\displaystyle P' = O + u(2,1,-3) +v(P - O) \).
Affinché \(\displaystyle \pi'\perp\pi \) si deve avere che \(\displaystyle \mathbf{w} = (2,1,-3) \) (il vettore ortogonale al piano \(\displaystyle \pi \)) sia parallelo a \(\displaystyle \pi \). Hai inoltre che \(\displaystyle P\in\pi' \), quindi ti manca ancora una condizione. Il fatto che \(\displaystyle \pi\cap r\subseteq \pi' \) farà verosimilmente il resto.
Il sistema è
\(\displaystyle \begin{cases} x+2y-1 = 0 \\
2y+z+1 = 0 \\
2x + y - 3 = 0
\end{cases} \)
siccome \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix} \) è una matrice invertibile, l'unica soluzione è \(\displaystyle O = (0,0,0) \).
La rappresentazione cartesiana è data da \(\displaystyle (x,y,z)\cdot \bigl[ (2,1,-3)\times (P - O) \bigr] = 0\) dove ho usato \(\displaystyle \cdot \) per il prodotto scalare (io non uso in genere quella notazione ma immagino ti sia più congegnale). Insomma è data da \(\displaystyle \det\begin{pmatrix} x & y & z \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = 0 \).
La rappresentazione parametrica è invece data da \(\displaystyle \begin{cases} x &= 2u + v \\ y &= u -v \\ z &= -3u \end{cases}. \) Insomma \(\displaystyle P' = O + u(2,1,-3) +v(P - O) \).
grazie per la risposta
volevo chiederti dato che io in questi esercizi non ho mai usato il prodotto scalare volevo sapere si poteva usare la n normale al piano cioè $\vec n$ che è data dal prodotto vettoriale e successivamente sostituire il punto P nell'equazione del piano e ricavare d ?
volevo chiederti dato che io in questi esercizi non ho mai usato il prodotto scalare volevo sapere si poteva usare la n normale al piano cioè $\vec n$ che è data dal prodotto vettoriale e successivamente sostituire il punto P nell'equazione del piano e ricavare d ?
Si, certo. Comunque quel piano passa per zero, quindi \(d=0\).
però non ho ben chiaro una cosa.. quando si dice in generale determinare la posizione reciproca di un punto o un piano o una retta cosa si intende ? e che procedimento bisogna utilizzare ?
Ho dato quel esame ormai vari anni fa, quindi non ricordo il procedimento "standard". Un punto comunque può solo o appartenere o no ad una retta o ad un piano. Quindi sostituisci nelle equazioni e vedi se è interno o meno.
Una retta e un piano hanno tre possibilità: la retta è interna, parallela oppure intersecano in un punto. Lo vedi mettendo retta e piano a sistema. È inoltre spesso utile vedere se sono perpendicolari l'uno all'altro.
Una retta e un piano hanno tre possibilità: la retta è interna, parallela oppure intersecano in un punto. Lo vedi mettendo retta e piano a sistema. È inoltre spesso utile vedere se sono perpendicolari l'uno all'altro.
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