Ortogonalità vettori

[marco.palu9]

Salve ragazzi, avrei un problema su come svolgere un esercizio riguardando l'ortogonalità.
L'esercizio mi chiede sia W = {(x,y,z) elemento di R^3: x+y-3z=0, x-y+z=0}.
Determinare W ortogonale, Avremo quindi:
W={(x,y,z) : z=x, y=2x} = [(1,2,1)].

quindi avremo(1,2,1) una base e per determinare l'ortogonalità di W devo trovare tutti i vettori ortogonali alla base(1,2,1). quindi:

W(ortogonale) = {(x,y,z) elemento di R^3: <(x,y,z),(1,2,1)> = 0} = {(x,y,z) : x+2y+z=0} ho posto z= -x-2y e quindi avrò {(x,y,-x-2y), x,y elementi di R}

Ora però non so come faccio a trovare i vettori che determinano la base di W ortogonale

[Camillo]

Finora tutto corretto; Nota che $Dim W$ (ort)$ = 3-1 =2$ in quanto ci sono 3 variabili legati da una relazione , ok ?
quindi il generico vettore di W ort è $(x,y,-x-2y)$ per cui :
pongo per comodità $x=1 , y=0 $ e ottengo il vettore $(1,0,-1) $
ora pongo sempre per semplicità $x=0, y=1$ e ottengo il vettore $(0,1,-2)$.
Una delle infinite basi sarà allora data da questa coppia di vettori : $(1,0,-1),(0,1,-2)$.
che potevo anche ricavare così :$ (x,y,-x-2y)= x(1,0,-1)+y(0,1,-2)$.