Determinare Matrice Associata ad Applicazione Lineare

[cicciudo]

Salve a tutti,
volevo chiedervi, quale fosse il procedimento giusto e il ragionamento nel poter svolgere questo esercizio :

Sia B = {i,j,k} una base ortonormale positiva, determinare la matrice associata rispetto a tale base all'applicazione

\(\displaystyle T(v) = v ∧ (i+2j) +10v ·(i-k)k \)
e determinarne autovalori e autovettori.

il problema è nella "lettura" dell'applicazione per poi determinare la matrice richiesta... quale approccio dovrei utilizzare ?

Grazie in anticipo.

[Frink1]

Se scrivi $v=(v_1,v_2,v_3)$ in componenti rispetto alla base $B={i,j,k}$, il vettore $w=T(v)$ come si scrive? Lo devi scrivere in funzione delle componenti di $v$, quindi devi soltanto sviluppare i conti con cui ti è data l'applicazione.

$(i+2j)$ che vettore è, se scritto nelle componenti rispetto alla base $B$?
E $(i-k)$? Lui come va scritto, sempre rispetto alla base $B$?

Una volta trovata l'espressione di ciascun vettore rispetto alla base data, svolgi i calcoli e otterrai un'espressione più abituale per il tuo endomorfismo.

[cicciudo]

allora...
quindi dovrebbe essere così ?

\(\displaystyle T(v) = v ∧ (i+2j) +10v ·(i-k)k \)
=> \(\displaystyle v ∧ (1,2,0 ) + 10v1k-10v3k
\)
\(\displaystyle => v ∧ (1,2,0 ) = i (-2v3) - j (-v3) +k ( 2v1-v2)
\)
Alla fine ottengo :

\(\displaystyle v1 ( 12k) + v2( -k ) +v3 ( 2i+j-10 k ) \)

La matrice associata a questo punto dovrebbe essere

0 0 2
0 0 1
12 -1 -10

Giusto ?

[Frink1]

Ci siamo quasi. Invece di esplicitare il vettore $T(v)$ in funzione dei $v_i$, prova ad esplicitarlo in funzione dei vettori di base, così da trovare l'espressione di $T(v)$ rispetto alla base $B$

P.s. non so come intendere quel $k$ fuori dalla seconda parentesi, se lungo la componente $k$ o se sia un prodotto scalare...