Conica - Forma canonica isometrica

[Alesssandro2]

Salve, vi propongo un esercizio che immagino abbia una risoluzione abbastanza meccanica ma non riesco a capirla.. Viene richiesto di classificare la conica C e di trovare un cambio di coordinate isometrico tale che nelle nuove coordinate la conica sia in forma canonicai isometrica.
C è: $2x^2 +2y^2+2xy+2y=0$

Dovrebbe essere un' ellisse reale. Per la forma canonica ho capito che la parte quadratica della nuova conica deve essere una matrice diagonale.
Quindi se A era la parte quadratica di C: \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} ha 1 e 3 come autovalori e mi viene che basi dei loro autospazi sono:
per 1 \begin{Bmatrix} 1 \\ -1 \end{Bmatrix} e per 3 \begin{Bmatrix} 1 \\ 1 \end{Bmatrix}

quindi se P è \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
dovrebbe valere che $P^-1AP$ è diagonale e dovrebbe essere la parte quadratica della matrice C' in forma canonica però non so come continuare per la parte lineare e per trovare le nuove coordinate :/

Spero di essermi spiegato nel modo più chiaro possibile nonstante che mi renda conto che sto facendo questi esecizi senza realmente capire cosa stia scrivendo..

Grazie in anticipo anche solo per essere stati a leggere sta roba!

[j18eos]

CIa0, benvenuto.

Quella matrice \(\displaystyle P\) che tipo di trasformazione rappresenta?

[Alesssandro2]

Ciao, grazie!
Non so che nome abbia la trasformazione, ho preso una matrice che ha per colonne due autovettori e, a quanto ho capito, per il teorema spettrale,$ A $ è simmetrica, allora $P^-1AP$ è diagonale.. Non so perché l'ellisse rimanga la stessa però così dovrei aver eliminato il termine $xy$