Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno a tutti,
Ho un dubbio che riguarda le hat functions (funzioni a cappello che valgono 1 nel nodo considerato del dominio discretizzato e 0 in tutti gli altri).
Leggo dalla teoria che queste funzioni sono le basi di uno spazio vettoriale (di cardinalità uguale al numero dei nodi in cui si è discretizzato il dominio) composto da funzioni di classe C0 nel dominio, lineari in ogni intervallo in cui si è suddiviso lo stesso e nulle agli estremi dell'intero dominio.
Ora mi chiedo: essendo ...
Ciao ragazzi, mi trovo in difficolta a svolgere questo esercizio
Sia data l applicazione lineare associata alla matrice A $ ( (0,-1, k) , (1,-2,0) , (k,-k, k+4) ) $
A) Si dica per quali valori non è iniettiva suriettiva e biuniboca ( questo l ho fatto e viene quando $ -k^2+k+4=0 $ )
B) Sia $ B= ( (1,1,0) , (1,2,0) , (0,-1,1) ) $ un altra base di $ RR^3 $. Scrivere la matrice associata a T rispetto alla base canonica nel dominio e alla base B nel codominio posto $ k=0 $.
Non so come devo procedere!
Ho un'idea ...
Allora, ho appena iniziato lo studio di geometria, e dopo la teoria, mi ritrovo a fare gli esercizi, dopo aver svolto un bel po di matrici e determinanti. Mi trovo questo davanti:
" Verificare, senza eseguire i calcoli, che i seguenti determinanti valgono 0:
1) $ | ( a , b , c ),( x , y , z ),( a-x , b-y , c-z ) | $
2) $ | ( x , y , 2x+3y ),( y , z , 2y+3z ),( z , x , 3x+2z ) | $ "
Ehm, ok va bene, so come svolgere il determinante 3x3 e via dicendo, ma come posso dimostrare/negare che un determinante vale un numero/polinomio (A) senza eseguire i calcoli?
Ricordiamo che, se $ A $ è una matrice $ m × n $ si definisce annullatore di $ A $, $ n u ll(A) $ , il sottospazio di $ R^n $ dei vettori $ X $ tali che $ AX = 0 $ , (cioè sono le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato ad $ A $ ) e si definisce $ R(A) $ il sottospazio di $ R^n $ generato dalle righe di $ A $.
-Dimostrare che $ R(A) = (n u ll (A))^_|_ $ . (questo è il primo dei tre ...
Qualcuno mi scrive il procedimento per svolgere un prodotto matriciale AB in cui B è una matrice quadrata di ordine 2 mentre A è una matrice di ordine 3x2 ?
"Ho questo esercizio:
$ A=( ( 2 , 1 ),( 3 , -2 ),( -4 , 6 ) ) $
$ B=( ( 2 , 1 ),( 0 , 3 ) ) $ "
Dovrei risolvere il prodotto fra queste due matrici, ma non saprei come procedere... Chi mi può dare un aiuto?
Salve a tutti.
Stavolta scrivo per ricevere la correzione di un sistema parametrico da svolgere con Gauss, visto che non mi dava le soluzioni :/
Allego le foto dello svolgimento, perché scrivere tutti i passaggi di Gauss con Tex non sono capace proprio, e credo che anche per chi corregge sia più comodo.
Ho dubbi sia sull'esattezza della riduzione a scala, sia sul proseguio dell'esercizio
Svolgimento:
http://i60.tinypic.com/143181s.jpg
http://i61.tinypic.com/nyutrn.jpg
Grazie mille in anticipo a chi mi darà ...
Ciao ragazzi, non riesco a trovare un procedimento per fare questo esercizio!
Data la matrice A $ ( (7,0,0) , (0,7,-1) , (0,14,-2) ) $ trovare una matrice B tale che BA sia la matrice identità, che se non sbaglio e' $ ( (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) ) $ . Secondo me non è possibile trovarla, perche se moltiplico A per $ ( (1/7,0,0) , (0,1/7,0) , (0,0,-1/2) ) $ non mi viene la matrice identita'. Avete qualche idea su come procedere in altri modi??
Teorema:
la molteplicità geometrica di un autovalore è minore o al più uguale alla molteplicità algebrica dello stesso ed è maggiore o uguale a 1.
Buongiorno, ho trovato questo teorema sul mio quaderno, ma non riesco a trovare la dimostrazione sul libro e neanche su internet. Purtroppo nel mio corso di algebra lineare non è stato affrontato il capitolo sugli endomorfismi (l'unica dimostrazione che ho trovato li utilizzava :/ ), perciò qualcuno per caso conosce una dimostrazione senza l'uso di ...
Ho qualche dubbio sulla correttezza di quello che faccio in questo esercizio.
Sia $B$ una base di $RR^3$ composta da $v_1=((1),(-1),(0))$, $v_2=((0),(1),(1))$, $v_3=((1),(1),(1))$
$L:RR^3->RR^2$ dove $L(v_1)=((1),(2))$, $L(v_2)=((-1),(1))$, $L(v_3)=((0),(0))$
1)determinare dimensione di kerL e ImL esplicitando una base.
Siccome non mi viene data una base particolare, io lo farei partendo dalla matrice associata all'applicazione su quella base. Cioè su
$B={((1),(-1),(0)),((0),(1),(1)),((1),(1),(1))}$
e ...
Salve, vorrei avere dei consigli riguardo un esercizio sugli autovalori ed autovettori.
Allora la matrice è questa:
$T=$$((2cx^2 , 2ch^2-2cx^2),(2ch^2-2cx^ 2, 2cx^2))$
Autovalori:
$det(T- \lambda I)=0$
$det$ $((2cx^2 - \lambda, 2ch^2-2cx^2),(2ch^2-2cx^ 2, 2cx^2 - \lambda))$ $=0$
Ciò significa che le radici $ \lambda _1 = 2cx^2$ $ \lambda _2 = 2cx^2$
Autovettori:
$det(T- \lambda I)((n_1),(n_2)) = ((0),(0))$
Per $ \lambda _1 = 2cx^2$
$det$ $((2cx^2 - 2cx^2, 2ch^2-2cx^2),(2ch^2-2cx^ 2, 2cx^2 - 2cx^2))((n_1),(n_2)) = ((0),(0))$
...
Salve a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi su questo esercizio?
Data l'applicazione f : R^2 --> R^2 l'endomorfismo a cui è associata la matrice A =
(1 1)
( 0 1) (Scusate non riesco a fare la matrice con i simboli, potreste spiegarmi come si fa ) rispetto alla base canonica sia nel dominio che nel codominio.
1) Scrivere una base per R^2 contenente il vettore (1,4).
2) Esiste una base di R^2 contenente il vettore nullo? Perché?
Grazie in anticipo
Ciao a tutti!
Devo dimostrare che se ho una matrice a m righe ed n colonne A, se A=-A allora A=0.
Qualcuno può darmi una strada per fare tale dimostrazione?
Grazie!
Salve a tutti, sono alle prese con un problema di algebra lineare. Mi chiede di costruire un prodotto scalare tale per cui il vettore (2,1,3) (che genera uno spazio vettoriale) abbia come complemento ortogonale (riguardo al prodotto scalare che devo costruire) lo spazio generato dai vettori (2,0,1) e (0,1,2)
Ho provato ad utilizzare la definizione di complemento ortogonale,mettendo come 6 incognite in una ipotetica matrice associata al prodotto scalare che devo costruire (6 e non 9 perchè la ...
Ciao ragazzi, mi rimaneva un ultimo dubbio nel calcolo dell' immagine!
se prendo per esempio la funzione $ f (e1) =3e1-3e2 ; f (e2) = 2e1-2e2 $ la matrice associata viene $ ( (3,2) , (-3,-2) ) $ ridotta con Gauss viene $ ( (3,2) , (0,0) ) $ (qui arriva il problema) per prendere una base per l immagine devo prendere $ ( (3) , (0) ) $ o $ ( (3), (2) ) $ ?
Se invece prendo questa funzione
$ f (x, y, z,t)= (2x-t , 3y-x+2z-t) $ la matrice associata viene $ ( (2,0,0,1) , (-1,3,2,-1) ) $ ridotta a gauss viene $ ( (2,0,0,-1) , (0,6,4,-3) ) $. Qua invece come base per l ...
Ciao a tutti!
Mi sono bloccato su un esercizio sulla topologia quoziente, non so come procedere
In $RR^3$, dotato della topologia euclidea, si considerino i dischi:
$D_0 = {(x,y,0) in RR^3 : x^2 + y^2 <= 1}$ e $D_1 = {(x,y,1) in RR^3 : x^2 + y^2 <= 1}$
Sulla loro unione disgiunta, sia $~$ la più piccola relazione di equivalenza per la quale $(x,y,0) ~ (x,y,1) AAy > 0$
Stabilire se lo spazio quoziente $X$ è connesso, compatto, di Hausdorff. Qualcuno può darmi una mano? Grazie mille a tutti!
Salve, non sapevo se andava bene questo esercizio:
Trovare nucleo e immagine dell'applicazione lineare $ RR^2->RR^3 $ $ f (e1)= e1+e2-e3 , f (e2)=2e1-2e2-e3 $
La matrice associata mi viene $ ( (1,2) , (1,-2) , (-1,-1) ) $ riducendo con gauss viene $ ( (1,2) , (0,-4) ) $ quindi immagine ha dim 2 e nucleo 1. Una base per immagine e' $ im (f) = [ [1], [0] ] , [ [2] , [-4] ] $ , mentre il nucleo si trova risolvendo l equazione
$ ( (x+2y=0) , (-4y=0) ) $ e viene $ ker (f) = 0v $. C e qualcosa che non mi torna!
Oggi all'esame c'era questo esercizio:
Si dica se l'insieme $W=((r+s, r+t),(-r-s, 0)) | r,s,t in R$ è un sottospazio dell'insieme $Mat_2,_2(R)$ delle matrici 2x2 a coefficienti in $R$ e in caso affermativo si determini la dimensione di W.
Ho verificato che si tratta effettivamente di un sottospazio, ma non mi sono ricordata come calcolarne la dimensione.
Mi sapete aiutare?
Grazie.
Determinare la matrice che rappresenta la seguente trasformazione lineare: trasforma $ R^2 $ prima ruotando di $ pi/2 $ in senso antiorario e poi riflettendo rispetto alla retta di equazione $ x+y=0 $ .
Io ho ragionato così per la rotazione:
$ R_(pi/2)( ( x ),( y ) ) = ( ( costheta , -sintheta ),( sintheta , costheta ) ) rArr ( ( 0 , -1 ),( 1 , 0 ) ) $ . Giusto?
Per la riflessione sono un po' in alto mare
Scusate la domanda probabilmente stupida e banale ma non riesco a capire.
Trovo ovunque che l'equazione dell'ellisse è $x^2/b^2+y^2/b^2=1$
Oggi facendo un esercizio mi capita $x^2+2y^2=1$ che diventa $x^2/2+y^2=1/2$. Ho pensato che non fosse un ellisse in quanto il termine dopo l'uguale non è 1. Ma mi sbaglio.
Potete spiegarmi il perché? Non è quindi necessario che l'eq sia sempre uguale a 1? E che significa ciò?
Grazie
Salve.
Chiedo aiuto per un esercizio di algebra che ho provato a risolvere in diversi modi, ma proprio non riesco...Non ho idea proprio di come impostarlo.
Determinare al variare dei parametri x, y, z la dimensione e una base del
sottospazio vettoriale V di Mat3(R) dato dalle matrici che commutano con
$((x,0,0),(0,y,0),(0,0,z))$
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