Proposizione relativa alle Basi ortogonali
Non mi è chiara una parte della dimostrazione di tale proposizione :
Sia $V_n$ uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare $s$
definito positivo. Se $e_1, e_2,…, e_t$ sono $t$ $(1 ≤ t < n )$ vettori non nulli e a due a due ortogonali è
possibile determinare un vettore non nullo $e_(t+1)$ ortogonale ai vettori $e_1, e_2,…, e_t$ .
Dimostrazione
Sia $w_(t+1)$ un vettore non appartenente al sottospazio $H = [e_1, e_2,…, e_t]$
generato dai vettori $e_1, e_2,…, e_t$ .Poichè il vettore $w_(t+1)$ non appartiene al sottospazio
$H = [e_1, e_2,…, e_t]$ , per ogni scelta degli scalari $α_1, α_2,……, α_t$ il vettore
$e_(t+1) = w_(t+1) + α_1 e_1 + α_2 e_2 +……+ α_t e_t$
non è nullo e non appartiene ad $H$ . Vediamo se è possibile scegliere gli scalari $α_1, α_2,……, α_t$ in
modo che il vettore $e_(t+1)$ risulti ortogonale ai vettori $e_1, e_2,…, e_t$ .
Tenendo conto della bilinearità del prodotto scalare e del fatto che i vettori $e_1, e_2,…, e_t$ sono a
due a due ortogonali si ha :
*$s ( e_(t+1) , e_1 ) = s ( w_(t+1) , e_1 ) + α_1 s ( e_1 , e_1 )$
$s ( e_(t+1) , e_2 ) = s ( w_(t+1) , e_2 ) + α_2 s ( e_2, e_2 )$
……
……
$s ( e_(t+1) , e_t ) = s ( w_(t+1) , e_t ) + α_t s ( e_t , e_t )$
(il mio dubbio viene adesso)
Pertanto il vettore $e_(t+1)$ risulterà ortogonale ai vettori $e_1, e_2,…, e_t$ cioè risulterà
$s ( e_(t+1) , e_1 ) = s ( e_(t+1) , e_2 ) = ….= s ( e_(t+1) , e_t ) = 0$
l'uguaglianza relativa a dove ho collocato l'asterisco (*) mi è chiara ma non mi è chiara come ha fatto a dire che
"$e_(t+1)$ risulterà ortogonale ai vettori $e_1, e_2,…, e_t$"
ringrazio chi chiarirà questo dubbio
Sia $V_n$ uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare $s$
definito positivo. Se $e_1, e_2,…, e_t$ sono $t$ $(1 ≤ t < n )$ vettori non nulli e a due a due ortogonali è
possibile determinare un vettore non nullo $e_(t+1)$ ortogonale ai vettori $e_1, e_2,…, e_t$ .
Dimostrazione
Sia $w_(t+1)$ un vettore non appartenente al sottospazio $H = [e_1, e_2,…, e_t]$
generato dai vettori $e_1, e_2,…, e_t$ .Poichè il vettore $w_(t+1)$ non appartiene al sottospazio
$H = [e_1, e_2,…, e_t]$ , per ogni scelta degli scalari $α_1, α_2,……, α_t$ il vettore
$e_(t+1) = w_(t+1) + α_1 e_1 + α_2 e_2 +……+ α_t e_t$
non è nullo e non appartiene ad $H$ . Vediamo se è possibile scegliere gli scalari $α_1, α_2,……, α_t$ in
modo che il vettore $e_(t+1)$ risulti ortogonale ai vettori $e_1, e_2,…, e_t$ .
Tenendo conto della bilinearità del prodotto scalare e del fatto che i vettori $e_1, e_2,…, e_t$ sono a
due a due ortogonali si ha :
*$s ( e_(t+1) , e_1 ) = s ( w_(t+1) , e_1 ) + α_1 s ( e_1 , e_1 )$
$s ( e_(t+1) , e_2 ) = s ( w_(t+1) , e_2 ) + α_2 s ( e_2, e_2 )$
……
……
$s ( e_(t+1) , e_t ) = s ( w_(t+1) , e_t ) + α_t s ( e_t , e_t )$
(il mio dubbio viene adesso)
Pertanto il vettore $e_(t+1)$ risulterà ortogonale ai vettori $e_1, e_2,…, e_t$ cioè risulterà
$s ( e_(t+1) , e_1 ) = s ( e_(t+1) , e_2 ) = ….= s ( e_(t+1) , e_t ) = 0$
l'uguaglianza relativa a dove ho collocato l'asterisco (*) mi è chiara ma non mi è chiara come ha fatto a dire che
"$e_(t+1)$ risulterà ortogonale ai vettori $e_1, e_2,…, e_t$"
ringrazio chi chiarirà questo dubbio
Risposte
Per ogni $1 \le i \le t$ si ha:
\[s(e_{t+1},e_i) = s(w_{t+1},e_i) + \alpha_i \ s(e_i,e_i)\]
Il passaggio che ti manca è quello in cui si ricava \(\alpha_i\) imponendo l'ortogonalità:
\[0 = s(e_{t+1},e_i) = s(w_{t+1},e_i) + \alpha_i \ s(e_i,e_i) \ \implies \ \alpha_i = - \frac{s(w_{t+1},e_i)}{s(e_i,e_i)}\]
Con questa scelta degli $\alpha_i$ il vettore $e_{t+1}$ risulta ortogonale al sottospazio $H$.
Questa non è altro che la procedura di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
\[s(e_{t+1},e_i) = s(w_{t+1},e_i) + \alpha_i \ s(e_i,e_i)\]
Il passaggio che ti manca è quello in cui si ricava \(\alpha_i\) imponendo l'ortogonalità:
\[0 = s(e_{t+1},e_i) = s(w_{t+1},e_i) + \alpha_i \ s(e_i,e_i) \ \implies \ \alpha_i = - \frac{s(w_{t+1},e_i)}{s(e_i,e_i)}\]
Con questa scelta degli $\alpha_i$ il vettore $e_{t+1}$ risulta ortogonale al sottospazio $H$.
Questa non è altro che la procedura di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
Ok grazie quindi è la dimostrazione dell'ortogonalizzazione di Gram-Schimdt XD
Effettivamente senza quel passaggio non aveva senso
Effettivamente senza quel passaggio non aveva senso
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