Determinare gli autovalori di h tali che fh sia diagonallizabile

[domax931]

salve ragazzi
Assegnato l’endomorfismo:
$ f_h : (x, y, z) ∈ R
3 −→
2x−y, hx+(3−h)y+hz, y+2z ∈ R^3 , h ∈ R . $

Determinare gli autovalori di f h e i valori di h tali che
f h sia diagonalizzabile.

RISPOSTA: Gli autovalori sono
$k_1$ = 2 e $k_2$ = 3 − h. f h `e diagonalizzabile per h = 0.

per gli autovalori mi trovo con la risposta, mentre per quanto riguarda il valore h, mi viene 1 anzichè 0, ma vi posto il mio svolgimento.
ecco la matrice per calcolarmi il polinomio caratteristico
$ [ ( 2-alpha , -1 , 0 ),( h , 3-h-alpha , h ),( 0 , 1 , 2-alpha ) ] $

le radici risultano essere $ alpha =2, alpha= 3-h $ e mi trovo.
per trovare i valori f_h, sostituisco le radici trovate in precedenza nella matrice $ [ ( 2-alpha , -1 , 0 ),( h , 3-h-alpha , h ),( 0 , 1 , 2-alpha ) ] $
e mi ritrovo con due matrici con rango entrambe con rango 2, ora dovrei fare il determinante di entrambe le matrici?

grazie .